Par cinq points passe une conique

Développement sympa et assez rentable si on a le courage de se lancer dans le calcul en coordonnées barycentriques. C'est pas si dur en vrai et y'a des liens avec la géométrie projective mais on peut faire sans. Je mets le théorème de Pascal sans la preuve (elle est dans le Eiden) mais on n'a pas du tout le temps de le faire en plus. On peut faire beaucoup plus rapide que ce que je fais dans la partie où on montre que si trois points sont alignés alors la conique est dégénérée.'

Très joli développement pour les géomètres qui se recase dans Systèmes linéaires, de façon un peu abusée certes, mais bon, qu'est-ce que c'est que cette leçon aussi (depuis qu'il n'y a plus Décomposition de matrices, c'est un standalone). J'aime bien parler du résultat analogue en géométrie projective, étant donné que les coniques projectives sont en fait plus faciles à manipuler que les vraies coniques.'

J'ai eu pas mal de difficulté à faire ce développement mais au final c'est devenu un de mes préférés. Attention aux coquilles.'

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Un développement que je trouve personnellement plutôt chouette, alors que manipuler des systèmes linéaires et des déterminants ne me fait généralement pas rêver ; ici, le lien très simple qui est fait entre les considérations algébriques et géométriques le rend plutôt agréable à faire. Il n'a rien d'original, mais plusieurs personnes m'ont dit qu'il n'est pas la peine de faire quelque chose de fou sur les coniques pour s'en sortir avec les honneurs. Je pense que ce développement, bien mené, est suffisant. Attention, il faut toutefois être à l'aise à la fois avec la classification des coniques et avec l'utilisation des coordonnées barycentriques. En terme de référence, toutes les versions utilisent la même, et ça n'est pas pour rien ! La plupart des livres que j'ai ouvert pour lire sur les coniques utilisent abondamment la géométrie projective. Si comme moi vous n'êtes pas du tout à l'aise avec ces choses là, foncez sur le livre d'Eiden qui fait tout ce qu'il faut pour le dev sans la moindre géométrie projective. Côté recasages, je le mets personnellement, sans surprise, dans la 171 et la 191. Je pense qu'il passe également très bien dans la 149 et la 162, puisque sans rien faire de très techniques sur les déterminants et les systèmes linéaires, ça reste le cœur du contenu algébrique de la preuve, et c'est l'occasion de faire un joli lien avec la géométrie qui est sûrement moins attendu que beaucoup d'autres choses qui se font dans ces leçons. Enfin, je l'ai mis dans la 181. Même si cette leçon ne s'appelle plus officiellement \"barycentres\", les coordonnées barycentriques restent l'un des premiers items dont le jury parle dans son rapport, en le qualifiant \"d'essentiel\", et après en avoir parlé avec un prof, il semble que le développement reste bon dans cette leçon aussi. N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille dans le poly ! '

- Existence d'une conique passant par cinq points quelconques du plan affine ; - Discussion sur l'unicité d'une telle conique, et sur son caractère non dégénéré (ou propre) ; - Compléments pour justifier quelques outils utilisés lors du développement. Leçons concernées : 162, 171, 181, 191'

Recasages: 171, 181 Page 52 Je recommande vivement de faire des dessins dans les différents cas d'alignement, pour montrer l'unicité ou la non unicité. Mon site: https://esuong-maths.fr'

Développement qui paraît assez aride à première vue, mais une fois qu'on s'y plonge dedans, les choses deviennent assez fluides. Il a l'avantage de se recaser dans les deux leçons de géométrie, et d'alimenter la partie \"côniques\" de la leçon sur les formes quadratiques. Il y a quand même des choses à savoir, et certaines ne sont pas spécialement triviales. Notamment, la forme générale d'une conique en coordonnées barycentriques: le Eiden le fait très bien, mais il faut s'y pencher dessus, c'est pas le jour J qu'il faut se renseigner sur ce point. Côté recasage à mon avis: Convexité dans R^n Formes quadratiques réelles, Côniques Exemple d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Attention aux éventuelles coquilles. Je suis pas fan de ce développement. Mais si ca peut aider... Attention aux définitions, pour Eiden non dégénéré = conique homogénéisé non dégénéré, dans d'autres livres parfois on dit que non dégénéré= partie quadratique non dégénéré. J'ai préféré alors utilisé le terme \"non propre\" pour le non dégénéré de Eiden. Pour la fin de ce développement il faut absolument une classification des coniques et savoir dire lesquels sont propres et pas propres (je crois que dans Aebischer c'est fait en grosse partie). En tout cas il faut être clair sur tout ca. J'ai noté en recasage 149 (c'est bof mais il y'a l'histoire des déterminants), 162 (il y'a un système un résoudre etc, ca fait une appli), 170 (abusé), 171, 181(c'est mon impasse mais j'aurais mis dedans sinon). Ca peut également aller dans 191.'

Les recasages proposés au dessus sont bien forcés... Pour moi, 171, 181 (voir après), 191, et 162 ça irait aussi, peut-être 149 mais il faut être au point sur le lien alignement/déterminant... Le reste c'est vraiment forcé. Ce développement est difficile à intégrer, il faut être au point avec l'équation d'une conique et surtout avec les coordonnées barycentriques (c'est pour ça qu'elle se recasait dans la 181 avant, mais depuis 2024 elle n'a plus \"Barycentres\" dans le nom donc... pas sûr que ce soit un bon recasage, j'ai fait l'impasse sur la 181) Il y a un problème de vocabulaire dans ce que j'ai fait, j'avais rayé \"dégénéré\" pour mettre \"propre\" mais /!\ en fait c'est bien dégénéré !!! Attention conique dégénérée, ce n'est pas pareil que forme quadratique dégénérée !! Il faut se ramener à l'équation homogénéisée qui n'est rien d'autre que l'équation barycentrique... ça touche dangereusement à la géométrie projective... Sinon une fois qu'on a compris, ça va, mais j'aurais peur des questions de jury dessus... Vous trouverez un rappel sur le passage cartésien/barycentrique à la fin du dev.'

Version manuscrite, désolée pour l'écriture . A chaque entrainement je dépassais largement les 15 minutes. J'ai fait le choix d'enlever la partie avec le critère \"non dégénérée\". Sachant que je dépassais toujours les 15 minutes malgré cette censure, peut-être peut-on admettre le cas 1 qui prend quelques minutes et n'est pas l'intérêt du développement. De plus cela peut-être une question du jury \"maitrisée\". A vous de voir selon votre rapidité et votre aisance. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin. Attention pour la réf a bien avoir la 2ème édition, la 1ère n'étant pas autorisée.'

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.'

Développement peu original mais qui a l'avantage de s'apprendre facilement. De mon point de vue, il peut être utilisé pour les leçons 151, 162, 171 et 181.'

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Ce développement fait peur à première vue, mais les trois choses à savoir sont : les barycentres, le lien mineur/rang et les liens entre coniques et formes quadratiques.'

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