Déterminant de Cauchy par deux méthodes

Soient $(\alpha_1,…,\alpha_n), (\beta_1,…,\beta_n) \in \mathbb{C^n}$ tels que $a_i+b_j \ eq 0, \forall i,j$ . Alors : $$ \det(\dfrac{1}{\alpha_i+\beta_j}) = \dfrac{\Pi_{i<j}(\alpha_j-\alpha_i)(\beta_j-\beta_i)}{\Pi_{i,j}(\alpha_i+\beta_j)} $$ On fait 1. par récurrence et bidouille sur la matrice 2. Méthode similaire à Vandermonde avec des fractions rationnelles