Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Pour E un espace préhilbertien, V un s-ev muni d'une base $\{ e_1,...,e_n\}$, et $x \in E$, on a :
$dist(x,V)^2 = \frac{G(e_1,...,e_n,x)}{G(e_1,..,e_n)}$
où $G(f_1,...,f_m) := det( (\langle f_i,f_j \rangle)_{i,j} )$ est le déterminant de la matrice de Gram associée à $\{f_1,..,f_m\}$.
Ref : Gourdon X., Algèbre, p.259
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 149 | Déterminant. Exemples et applications. 2026 |
| 4 | 161 | Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2026 |
| 3 | 191 | Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.2026 |
Utilisateur : Louis D
Un développement classique qui se recase à la fois en analyse et en algèbre, donc on dit oui !
Attention, la preuve de la première application n'a pas de référence mais c'est une récurrence qui ne pose pas vraiment de difficulté à mes yeux.
Attention aux coquilles.'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : Julos
Attention aux éventuelles coquilles.
Pas de ref pour les inégalités de Hadamard (à connaître), il y'en a une l'énoncé est dans le Gourdon algèbre. Si on demande une application on peut citer qu'il y'a une démonstration de théorème de Müntz-Szasz qui utilise ces résultats.
Je recase dans 149, 157, 161.'
Références :
Utilisateur : Baptiste Breton
- Expression de la distance à un sous-espace par les déterminants de Gram ;
- Inégalité sur le déterminant de Gram et inégalité d'Hadamard.
Leçons concernées : 149, 161'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : Elouan Renault
Pour être tout à fait honnête, je n’avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l’ai choisi assez tardivement. Mais je pense que c’est un choix de développement raisonnable.'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : EWna
Recasages: 152, 161
Pages 275 & 273 (v3)
Inspiré de abarrier.
Mon site: https://esuong-maths.fr'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : CloudSea
Le développement est assez boring, mais au moins il permet de remplir des leçons assez compliquées à caser'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : Mathis Lemay
Je recase ce développement dans 149 (Déterminant) et 161 (Distances, isométries). Je suis également d'accord avec le recasage dans 191.
Dans les références que j'ai trouvées, les choses ne sont pas faites tout à fait correctement, surtout le cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard. J'ai présenté ce développement devant un ami en justifiant simplement à l'aide de ce que j'ai souligné en noir sur la 2e page et il m'a fait remarquer que ce n'était pas trivial... On a ensuite fait le détail que j'ai recopié en dessous.'
Références :
Algèbre et probabilités - Gourdon
Algèbre linéaire\r - Grifone
Utilisateur : Florian Dussap
Je démontre ce théorème et je démontre également l'inégalité de Hadamard. '
Références :
Algèbre\r - Gourdon