Théorème de Müntz
On munite $C( [0,1], \mathbb{R})$ du produit scalaire usuel. Soit $(a_n)$ une suite stictement croissante de $\mathbb{R}_+^*$.
Alors la famille $(x^{a_k})_{k \ge 0}$ est une base hilbertienne de $C( [0,1], \mathbb{R})$ si et seulement si la série $\sum_{k \ge 0} \frac{1}{a_k}$ est divergente.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 149 | Déterminant. Exemples et applications. 2026 |
| 5 | 202 | Exemples de parties denses et applications.2019 |
| 5 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2026 |
| 4 | 209 | Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2026 |
| 3 | 201 | Espaces de fonctions : exemples et applications.2015 |
| 3 | 140 | Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.2016 |
| 2 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2026 |
Utilisateur : Imtegrale
Lourd en calculs, surtout pour la 149 où il vaut mieux faire determinant de Gram+ Cauchy et juste calculer la distance de $x^m$ à $V_N$.
On peut récupérer en plus la divergence de la série harmonique par le théorème de Weierstrass'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Analyse\r - Gourdon
Utilisateur : 20160
Vous ne voulez pas montrer Weierstrass à l'agreg ? Faites-mieux : montrez le théorème de Müntz, à prix discount : $\mathrm{Vect}(x^{\alpha_n})$ est dense dans $\mathcal{C}^0([0, 1])$ si et seulement si $\sum\frac{1}{\alpha_n}$ diverge. Publicité mensongère : on utilise le théorème de Weierstrass. Le principal intérêt de ce développement gourdonesque est qu'il utilise deux déterminants classiques, à savoir Cauchy et Gram, vous m'avez bien entendu, ce qui permet de garnir la leçon déterminant, et ça, on ne dit pas non.'
Références :
Analyse\r - Gourdon
Algèbre\r - Gourdon
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités - Jean-Étienne Rombaldi
Utilisateur : Matoumatheux
Une belle utilisation des déterminants pour prouver un résultat de densité dans les fonctions continues à la Weierstrass ! Les calculs sont pénibles et pas vraiment détaillés dans le Gourdon alors soyez solides sur vos appuis, j'ai tout détaillé dans le pdf pour pallier à ça !'
Références :
Algèbre et probabilités - Gourdon
Analyse\r - Gourdon
Utilisateur : Brunel
Un peu technique, à éviter si vous avez peur des calculs (mais quel joli résultat !).
Je le prends pour les leçons 149,201 et 209.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 291 de la référence.'
Références :
Analyse\r - Gourdon