Ellipsoïde de John Loewner

Développement long (on n'a pas du tout le temps de faire la partie sur le centre libre même si c'est bon à savoir) mais qui se recase très bien. Après faut faire un peu attention parce qu'il est explicitement mentionné dans le rapport comme un développement souvent abusivement recasé. Apparemment y'a une jolie application aux sous-groupes compacts de GLn(R) mais j'ai pas réussi à trouver de référence qui en parle.'

- Expression de la norme d'une matrice symétrique via sa forme quadratique associée ; - Lemme préliminaire sur les ellipsoïdes ; - Expression du volume d'un ellipsoïde en fonction du déterminant de la matrice associée à la forme quadratique ; - Stricte log-concavité du déterminant sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ; - Existence et unicité de l'ellipsoïde de John-Loewner ; - Compléments : commentaires sur le fait que les ellipsoïdes considérés sont centrés en l'origine / application aux sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Leçons concernées : 157, 203, 206, 219, 229, 253'

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Une version parmi tant d'autres, sans originalité. Il est possible de faire une preuve sans supposer l'ellipsoïde centrée en l'origine mais c'est plus dur (surtout pour l'unicité) et j'ai pas trouvé de réf alors j'ai abandonné. Attention aux coquilles'

Le document est très long, il faut un peu adapter en fonction de la leçon (penser à faire le lemme pour la leçon sur les fonctions convexes mais il n'est pas nécessaire dans celle sur le déterminant par exemple). On utilise pas mal de résultats assez forts sur les formes quadratiques et les matrices symétriques mine de rien donc il faut y avoir réfléchi avant je pense. Je le prends pour les leçons 149, 157, 170, 171,181, 219, 229 et 253. La preuve se trouve page 229 pour le théorème et 222 pour le lemme.'

Recasages : 152,160,170,171,158,181,203,219,229,253 Développement à tiroir : démontrer la formule du volume ou la stricte log-concavité selon les leçons. Avoir en tête la définition de la loi convexité, et que gamma est une autre fonction log-convexe Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6 Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4'

Selon la leçon, je fais la preuve du lemme ou la formule du volume. '

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Ne pas perdre de temps.'

Leçons 152, 158, 160, 170, 171, 181, 203, 219, 229, 253. A noter que la compacité de K n'est pas nécessaire, on utilise uniquement le fait que ce soit borné. '

Le développement est trop long pour être fait en détails en entier. Il faut choisir les parties à faire en détails selon la leçon présentée. (pp222-229)'

D'après moi pour les leçons : 152, 158, 171, 203, 219, 229 et 253. Je pense qu'il est plus intéressant de passer un peu de temps sur le calcul propre du volume d'un ellipsoïde, ça permet de montrer qu'on sait utiliser le théorème de changement de variables et où l'on voit que la diagonalisation en base orthonormée est fondamentale (pour avoir un jacobien égal à 1) La log-concavité du déterminant peut être faite en moins de 3 minutes et directement dans le cas où les matrices sont différentes pour avoir une inégalité stricte. Il y a une très belle application aux sous groupes compacts de Gl_n(R) (pas nécessairement maximaux). NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses. C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine. Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$. '

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Mis à jour le 31.05.17. Ce théorème est classique. On ne peut pas tout faire en 15 min mais c'est un développement qui s'adapte suivant la leçon.'

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