Théorème de Frobenius-Zolotarev
Soient $p$ un nombre premier au moins égal à $3$, $m \in \mathbb{N}^*$ et $u \in GL_n(\mathbb{F}_p)$. Alors $u$ est une permutation de $\mathbb{F}_p^n$, de signature $(\frac{ \det(u)}{p} )$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 105 | Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025 |
| 3 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025 |
| 3 | 121 | Nombres premiers. Applications.2025 |
| 3 | 123 | Corps finis. Applications.2025 |
| 3 | 103 | Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2025 |
| 1 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2025 |
| 1 | 149 | Déterminant. Exemples et applications.2025 |
Utilisateur : Courant Thomas
Développement très sympa. Attention à se préparer à répondre à des questions pour les cas non traités par le théorème et sur le calcul du groupe dérivé de GL_n(K).
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Utilisateur : Hugo
J'aime beaucoup ce développement.
Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
Références :
Utilisateur : Burel
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Utilisateur : Jouaucon
Développement original et très intéressant faisant le lien entre les permutations et le groupe linéaire d'un F_p espace vectoriel.
Résultats bonus:
1. L'application qui a un élément a de F_p inversible associe son symbole de Legendre (a/p) est un morphisme de groupes.
2. Il y a (p+1)/2 carrés et (p-1)/2 non-carrés dans F_p.
3. Si K a au moins 3 éléments et E un K-e.v., alors GL(E) est engendré par les dilatations.
4. Si K est un corps fini, alors K* est cyclique i.e. il existe a dans K* tel que K* = <a>.
Développement n°21 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : Lavos
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Utilisateur : Mathieu Dutour
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré