Théorème de Frobenius-Zolotarev
Soient $p$ un nombre premier au moins égal à $3$, $m \in \mathbb{N}^*$ et $u \in GL_n(\mathbb{F}_p)$. Alors $u$ est une permutation de $\mathbb{F}_p^n$, de signature $(\frac{ \det(u)}{p} )$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 105 | Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications. 2026 |
| 3 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2026 |
| 3 | 121 | Nombres premiers. Applications. 2026 |
| 3 | 123 | Corps finis. Applications.2026 |
| 3 | 103 | Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2026 |
| 1 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2026 |
| 1 | 149 | Déterminant. Exemples et applications. 2026 |
Utilisateur : 20160
Pont inattendu entre groupe symétrique et algèbre linéaire, cette relation permet de montrer la seconde loi complémentaire de la réciprocité quadratique, et même avec un peu plus de boulot la loi tout court (c'était l'objectif de Zolotarev !) de la façon la plus efficace que je connaisse. En particulier on apprend que les exposants dans la LRQ ont une interprétation combinatoire comme coefficients binomiaux. Pas mal, hein ? Et puis ce dév comble magnifiquement bien les trous (quand on n'a pas la simplicité de A_n ou la cyclicité de Z/nZ* en dév...). Certifié sans calculs, ce qui est une perle pour la 105. À la place on peut même faire des diagrammes commutatifs. J'utilise la preuve originale de Zolotarev par factorisation du déterminant, qui est éminemment rapide, algébrique et intuitive.'
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Utilisateur : Courant Thomas
Développement très sympa. Attention à se préparer à répondre à des questions pour les cas non traités par le théorème et sur le calcul du groupe dérivé de GL_n(K).
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html'
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Utilisateur : Hugo
J'aime beaucoup ce développement.
Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'
Références :
Utilisateur : Jouaucon
Développement original et très intéressant faisant le lien entre les permutations et le groupe linéaire d'un F_p espace vectoriel.
Résultats bonus:
1. L'application qui a un élément a de F_p inversible associe son symbole de Legendre (a/p) est un morphisme de groupes.
2. Il y a (p+1)/2 carrés et (p-1)/2 non-carrés dans F_p.
3. Si K a au moins 3 éléments et E un K-e.v., alors GL(E) est engendré par les dilatations.
4. Si K est un corps fini, alors K* est cyclique i.e. il existe a dans K* tel que K* = <a>.
Développement n°21 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE'
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte