Critère de Sylvester et applications
<i>Théorème [Critère de Sylvester]</i>
Si $A \in S_n(\mathbb{R})$, alors $A$ est sym. déf. positive ssi tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.
En d'autres termes si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in S_n(\mathbb{R})$, on note $A_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k} \in S_k(\mathbb{R})$. Alors $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\det(A_k) > 0$ pour tout $k \in \{ 1,...,n\}$.
<i>Application à la signature</i>
Si $A \in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie de signature $(r,s)$, alors elle est congruente à $diag(I_r, -I_s)$.
<i>Exemple d'application</i>
La matrice de coefficients $\frac{1}{|i+j|-1}$ est symétrique définie positive.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 149 | Déterminant. Exemples et applications. 2026 |
| 5 | 157 | Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2026 |
| 5 | 170 | Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.2026 |
| 5 | 171 | Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.2026 |
Utilisateur : Lilian_26
Réf : Rombaldi p.738 et Gourdon p.359 - 361
Recasage : 149, 157, 170, 171
Remarque : Développement sympa. Le théorème et la première appli viennent du Gourdon. La deuxième appli vient du Rombaldi (qui d'ailleurs contient une erreur dangereuse, Sn++ est un ouvert de Sn et pas de Mn). Le recasage dans la 149 est ici bien justifié. Je vous conseille d'être efficace dans les explications'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Carpentier Axel
Tous mes développements tapés au propre à l'ordi à l'adresse suivante : https://www.acarpentier.eu/developpements/'
Références :
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : Matthieu C.
Développement sympathique, pas spécialement difficile, mais assez attention au temps. Les récurrences rendent le développement assez long. Le lemme de départ peut être une bonne source d'économie de temps, mais sans le montrer, le développement est un peu court... Il faut voir comment vous vous y prenez pour faire votre choix. Maîtriser la loi d'inertie de Sylvester est bien évidemment un impératif pour présenter ce développement.
Côté recasage à mon avis:
Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
Déterminant (certains considèrent ce recasage abusif. Je ne comprends pas: le critère de Sylvester porte précisément sur les mineurs de la matrice qui sont des déterminants. En plus dans l'application, on est amené à développer un déterminant...)
Formes quadratiques réelles
Matrices symétriques
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : kureru
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.
Recasage dans la leçon déterminant abusive pour moi.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Coquillages & Poincaré
Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr
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Références :
Utilisateur : Brunel
Je trouve ce développement d'une difficulté très correcte, il n'y a rien de très compliqué. Il faut juste être très au clair sur la réduction des formes quadratiques. L'application peut faire dépasser les 15 minutes, je pense qu'il faut la faire \"rapidement\", le jury posera de toute façon des questions dessus s'il veut en savoir plus.
Je prends ce développement pour les leçons 149, 170 et 171. Prenez du temps pour réfléchir à la leçon 149, c'est peut-être un peu léger mais ça ne me dérange pas.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 233 et 248. '
Références :
Analyse\r - Gourdon
Utilisateur : Geoffrey D
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Références :
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier
Utilisateur : Matmat
Développement assez original, pas trop dur mais assez long. On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle. Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention. '
Références :
Analyse\r - Gourdon
Utilisateur : Camille C.
pour l'application à la signature
p 97 à 99'
Références :
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier