Forme normale de Smith

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Un de mes développements ! Il a à mon sens le mérite de pouvoir transformer certaines leçons d'apparence infâme (comme l'odieuse leçon sur les systèmes linéaires) en des mines d'or de fun si vous aimez la théorie des anneaux, voire que vous vous sentez prêt.e à parler de modules, car c'est l'élément de base de tout une machinerie très puissante qui permet d'obtenir un bon nombre de théorèmes qui font des modules sur les anneaux principaux des objets encore plutôt agréables à manipuler (base adaptée, un sous-module d'un module libre est libre, etc.). Alternativement, vous pouvez aussi embrayer sur des corollaires plus proches du programme, tels que le théorème de structure des groupes abéliens de type fini, ou alors la résolution d'un système linéaire à coefficients dans Z. C'est un développement excellent à coupler avec celui sur la réduction de Frobenius car l'algorithme de Smith est essentiellement celui qui permet de calculer explicitement les facteurs invariants d'une matrice. Par contre, il faut l'avoir bien préparé pour ne pas s'embrouiller dans l'explication de l'algorithme, et il faut savoir l'appliquer sur des exemples, au moins dans Z. Mon document est très long, parce que j'ai essayé de détailler du mieux que je le pouvais, mais l'essentiel des arguments est à développer à l'oral. J'y traite le cas principal, et non euclidien, je trouve que la preuve est plus intéressante dans ce contexte. J'ai aussi ajouté quelques remarques d'ordre théorique sur le cadre dans lequel on peut faire fonctionner l'algorithme. Côté recasages, je lui mets cinq étoiles dans la 122, la 142 et la 162 pour des raisons assez évidentes. Pour la leçon sur les déterminants, j'ai indiqué le recasage dans le poly mais je ne l'utiliserai personnellement pas ici, je trouve que c'est un peu maigre (les déterminants n'apparaissent que dans la partie unicité). Certaines personnes recasent ce dev dans la leçon sur les matrices diagonalisables, mais je trouve ça complètement tiré par les cheveux : ici on montre une forme *équivalente* à une matrice diagonale, pas *semblable*... N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille ! '

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

Développement très sympa. Attention le recasage dans la leçon diagonalisation est sujet à débat'

Peut-être faire une application. Je dirai d'abord sur les GATF avant de faire Frobenius mais chacun ses goûts. Je fais la preuve dans le cas euclidien. Leçons 122, 142 (pour l'unicité), 162.'

Ma version se fait par récurrence, plutôt que par l'algorithme présenté dans Objectif Agrégation, mais c'est la même preuve.'

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Autre réf : Artin - Algèbre'

Développement par analyse-synthèse consistant d'un seul gros théorème. Attention au temps. Résultats bonus: 1. Comment obtenir une matrice semblable par les invariants de similitude (réduction de Frobénius) en passant par la forme normale de Smith. Développement n°15 sur 28. Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE'