Fractions rationnelles et séries formelles

Soit $S \in K[[X]] \setminus K[X]$ notée $\sum_{n \ge 0} a_n X^n$ avec $a_n \in K$ pour tout $n \ge 0$. Sont équivalents : $\bullet$ La fraction rationnelle $S \in K(X)_0$. $\bullet$ Il existe $ N \ge 1, m \ge N, \lambda_1 , \ldots , \lambda_N \in K$ telles que $\lambda_N \ ot= 0$ et $\forall n \ge m$ on a la relation $a_n - \lambda_1 a_{n-1} - \cdots - \lambda_N a_{n-N} = 0$. $\bullet$ Il existe $N \ge 1$ telle que $\forall n \ge N$, $\det(A_n) = 0$ où $A_n = ( a_{i+j})_{ 0 \le i , j \le n } \in M_{n+1}(K)$.