Inégalités de Hadamard et de Minkowski

1) a) (Inégalité d'Hadamard) Soit $A = (a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique positive. Alors $det(A) \leq \prod_{i=1}^na_{i,i}$. b) Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n, f$ un endomorphisme auto-adjoint de $E$ défini positif. On désigne par $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les valeurs propres de $f$ et $\mathcal{A}$ l'ensemble des bases orthonormales de $E$. On a $\prod_{i=1}^n\lambda_i = inf_{(e_1,\cdots,e_n) \in \mathcal{A}}\prod_{i=1}^n\langle f(e_i),e_i\rangle$. 2) Soit $A$ une matrice symétrique définie positive et $\alpha >0$. On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des matrices symétriques définies positives de déterminant supérieur ou égal à $\alpha$. Alors $inf_{S \in \mathcal{S}}Tr(AS) = n(\alpha det(A))^{1/n}$. 3) (Inégalité de Minkowski) Soit $A,B$ deux matrices symétriques définies positives. Alors $(det(A))^{1/n}+(det(B))^{1/n}\leq (det(A+B))^{1/n}$.