Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

Le dev est au recto, lemmes au verso Réf : Gourdon p.330, 333, 341 Recasage : 149, 206, 214, 215, 219 Remarque : Développement original. La proposition justifie mieux le recasage dans la 206 et le théorème est indispensable pour la 149. Je vous conseille d'être assez rapide, ou de retirer la proposition pour gagner du temps'

Je ne montrais finalement pas le lemme pendant les 15min. Pour montrer que $\lambda I_n = 2A^TA$, vous pouvez aussi utiliser la linéarité de la trace puis le théorème de Riesz pour dire que $<2A-\lambda (A^-1)^T,H> = 0$ pour tout $H$ $\Rightarrow 2A=\lambda (A^-1)^T$. Recasages : 149,161,206,215,219. '

Recasages : 149 : Déterminants 206 : utilisation de la dimension finie 214 : théorème d’inversion locale 215 : applications différentiables 219 : extremums'

Ce développement n'est pas très difficile, et fournit une belle application du théorème des extrema liés. Je ne faisais pas la première proposition dans le développement, le reste était suffisant pour faire quasi 15 minutes. Même si on ne fait pas ce développement, il est essentiel de connaître (et savoir retrouver) la différentielle du déterminant, on peut retenir la petite phrase : \"la différentielle du déterminant en l'identité, c'est la trace\". Le petit argument de compacité au début de la 2e page est assez crucial, il faut savoir le justifier correctement. '

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'