203 - Utilisation de la notion de compacité.2025

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Weierstrass

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le jury m'a tout d'abord posé quelques questions sur le développement (optimisation de la vitesse de convergence vers les polynômes de Bernstein dans le cas d'une fonction lipschitzienne + utilisation de l'indépendance de variables aléatoires réelles dans le développement). On est ensuite passé sur des exercices : un premier sur une suite (x_n) bornée dans qui vérifiait des conditions et l'on m'a demandé ce que l'on pouvait dire dessus. J'ai donc pensé au théorème de Bolzano-Weierstrass et j'ai dit qu'on allait essayé de montrer qu'elle converge en montrant qu'elle admet une unique valeur d'adhérence (et c'était ce qu'il fallait faire). Ensuite j'ai du montré que la boule unité fermé de L^2 était un fermé de L^1 mais je n'ai pas réussi à aller bien loin dans l'exercice car je me suis embrouillé entre les deux espaces... Cependant la suite de l'exercice consistait à partir sur le lemme de Baire et les ensembles Gdelta-denses. Enfin j'ai eu un dernier exercices qui consistait à chercher une fonction vérifiant des conditions avec un opérateur et il fallait utiliser le théorème du point fixe de Banach pour conclure (un peu comme dans la démonstration de Cauchy-Lipschitz local avec le théorème du point fixe).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury a été plutôt bienveillant et a cherché à m'aider dès que j'étais coincé.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
C'était mon tout premier oral et ça s'est passé comme je l'imaginais (tant sur la préparation que l'oral).

Note obtenue : 14.25

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Formules de Taylor. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le jury a choisi l'équivalence des normes en dimension finie et le théorème de Riesz comme développement, j'ai réussi à le faire sans souci. Questions sur le développement : - le jury n'a pas aimé l'argument classique de la preuve avec l'ensemble des $x$ de norme $N_0$ (notations du Gourdon) égale à $1$ qui est compact comme image par une application continue d'un fermé borné de $\mathbb{K}^n$ donc d'un compact de $\mathbb{K}^n$ (et seulement de $\mathbb{K}^n$, à ce stade on ne connait pas encore les compacts d'un $\mathbb{K}$-evn de dimension finie), ils ont préféré me le faire écrire comme l'image du carré $[-1,1]\times[-1,1]$ que l'on sait compact (les $x$ dont la norme infinie vaut $1$ dans le plan, ils m'ont demandé de le dessiner), je n'avais jamais vu cet argument et il est effectivement bien plus clair et lève l’ambiguïté qui peut régner sur le potentiel raisonnement circulaire. - l'un des membres du jury m'a ensuite demandé pourquoi l'isométrie de la preuve était continue : c'est par définition de la norme $N_0$ choisie (une question triviale on ne crache pas dessus). - aucune autre question sur l'équivalence des normes, je connaissais par cœur le reste. - aucune question sur le lemme de Riesz ni sur le théorème. Questions sur le plan et exercices : - on a commencé par une question classique : l'image réciproque d'un compact par une application continue est-elle compacte ? Réponse non (penser au sinus), je connaissais la réponse mais je ne rappelais plus du contre-exemple je l'ai reconstruit en direct et le jury à l'air d'avoir apprécié. - je n'ai eu aucune autre question sur le plan. - exercice : c'était sur les opérateurs à noyau (du type $T(f)(x)= \int_{0}^{1} K(x,t)f(x) dt $ pour $f$ continue sur $[0,1]$ et $K$ définie je ne sais plus comment) 1) Montrer que T est continue (théorème de continuité sous le signe intégral) : facile une fois que le jury nous fait remarquer que l'on a affaire à une intégrale et que chercher à majorer $|T(f)(x)|$ par une constante fois $|x|$ n'est pas la bonne idée... 2) Montrer que $T(B(0,1))$ est d'adhérence compacte. J'ai eu pas mal de souci avec cette question, je ne savais pas par où commencer et l'oral s'est terminé sur mes nombreuses tentatives plus ou moins foireuses de résolution, ce n'était pas très glorieux il y avait un nombre assez fou de notations pour les suites, suites extraites, le jonglage entre adhérence et image par T...(le membre du jury qui m'a donné l'exo ne voulait pas m'aider, je me sentais très seul devant mon tableau...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Les deux premiers membres étaient très gentils et n'hésitaient pas à m'aider. Le dernier en revanche était très cassant et désagréable et ne réagissait pas du tout à ce que je disais à l'oral lorsque je réfléchissais à voix haute pendant la résolution de l'exercice (c'est lui qui m'a donné l'énoncé).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Tout est très bien organisé, rien à signaler.

Note obtenue : 15.5

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Séries de Fourier. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
1. Pourquoi il existe a ∈ A tel que d(xn2,A) < α/3? 2. Est-ce que par hasard cet inf ne serait pas un min ? 3. Dans votre application (à savoir, si f : [0,1] → [0,1] continue, x0 ∈ [0,1] et xn+1 = f(xn) telle que xn+1 − xn → 0, alors (xn) converge), est-ce qu’on ne peut pas se passer du fait que [0, 1] est compact,et donc ne pas utiliser le théorème ? 4. Vous parler de convergence uniforme pour la convolution d’une fonction continue à support compact avec une approximation de l’unité, pourriez-vous en rappeler la définition. 5. Pouvez-vous donner un exemple d’une telle approximation? 6 .Justifier pourquoi ça en est bien une. 7. Avec votre def d’approximation de l’unité, les deux premiers ne vous feraient pas penser à qqch en terme de proba ? 8. Et alors avec le troisième point, comment pourrait-on l’interpréter ? (convergence en proba vers 0) 9. Vous avez dit qu’en dim finie, compact=fermé borné, pourriez-vous montrer que c’est faux en dim infinie. 10. Pourriez vous montrer que si xn → a, alors {xn, n ∈ N} ∪ {a} est compact ? 11. Si f : [0, 1] → C continue telle que \int_0^1 t^nf(t)dt = 0 ∀n, montrer que f = 0.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique, souriant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 14.75

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.2025

Développement choisi par le jury : Continuité des racines d'un polynôme

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
C'était mon deuxième oral, j'étais beaucoup moins stressée qu'au premier. On m'a demandé de préciser quelque chose sur mon développement puis on m'a demandé de montrer qu'une suite à valeurs dans un compact qui a au plus une valeur d'adhérence converge (je l'utilisais dans mon développement et je l'avais juste très vite justifié à l'oral). Question suivante : Comment définissez-vous la topologie quotient ? (j'en parlais dans mon plan à cause de ce développement où la topologie induite par la distance que je mets est en fait la topologie quotient) Je l'ai défini avec sa propriété universelle, ce qui a surpris le jury (apparemment c'est plus courant en algèbre qu'en analyse), du coup j'ai expliqué qu'il y avait deux manières de faire, soit on la définissait avec sa propriété universelle puis on la construisait pour montrer qu'on ne parlait pas sur du vide, soit on prenait sa construction pour définition et on montrait qu'elle vérifiait la propriété universelle et que c'était la seule (sur l'ensemble quotient). Ensuite un membre du jury m'a demandé comment je définissais les compacts en topologie générale, j'ai répondu avec Borel Lebesgue (et le fait d'être séparé) et il m'a demandé si je connaissais un compact qui ne vérifie pas Bolzano Weierstrass. J'ai répondu qu'en tout cas ça ne serait pas un compact métrique et j'ai cherché un peu, mais il m'a rapidement interrompu pour me dire que si je n'en connaissais pas je n'allais pas deviner. Un autre membre du jury m'a alors demandé de parler de la topologie de la convergence simple; il m'a guidé et j'ai compris qu'il avait l'air de vouloir que j'utilise un théorème de Tychonoff, mais celui qui me venait à l'esprit était dénombrable et là on n'était pas dans un cadre dénombrable; je leur ai fait part de ces réflexions et on est passé à des questions sur le plan (retour dans un cadre métrique du coup). Je ne me souviens plus des questions exactes sur mon plan (qui avait deux parties, une sur l'utilisation de la compacité en lien avec la continuité (l'image continue d'un compact est compact, Rolle, Heine, Weierstrass... et beaucoup d'applications) et une sur Ascoli, Montel et le théorème de représentation conforme de Riemann (ce dernier étant admis)) mais elles étaient du style \"Comment vous déduisez cette application de ce théorème ?\" et aussi pourquoi je mettais le théorème de représentation conforme de Riemann (c'est parce qu'on utilise le théorème de Montel dans sa preuve, et qu'à mon avis ça se voit plus facilement que c'est un théorème utile (si on finit avec le théorème de Montel on reste sur sa faim à mon avis, en mode \"à quoi ça sert ?\")). Ensuite un membre du jury m'a demandé si j'avais d'autres (que Montel) applications du théorème d'Ascoli, j'ai répondu le théorème de Cauchy Peano, et un membre du jury m'a demandé comment on le prouvait, j'ai donné une idée \"avec les mains\" (j'ai parlé des solutions epsilon approchées mais je ne me souvenais plus des définitions exactes, juste des grandes idées), puis un membre du jury m'a demandé \"Et avec un ordinateur on fait comment ?\" du coup j'ai expliqué le coup des tangentes et de faire quelque chose d'affine par morceaux, et on est passé aux exos. Chaque membre du jury m'a posé un exo. Exo 1 : Soient (E,||.||) un evn, X un compact de E, f : X -> X telle que pour tous x et y distincts || f(x) - f(y) || < || x - y ||. Montrez que f a un unique point fixe. Exo 2 : Soient (E,||.||) un evn, K un compact de E. Notons L la réunion sur (x,y) dans K^2 des segments [x,y]. Montrez que L est compact. Exo 3 : Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans C, dérivables sur ]0,1[, telle que la suite des dérivées (f'_n) est bornée dans L^2. Montrez que (f_n) converge uniformément. Pour l'exo 3, [SPOILER RÉPONSE] j'ai réussi à borner (f_n) avec une méthode ad hoc (je me suis aperçue après coup que le jury s'attendait à du Cauchy Schwarz mais là j'ai utilisé |f'_n| <= 1 + |f'_n|^2), puis j'ai compris que le jury voulait que j'utilise Ascoli donc j'ai essayé de montrer l'équicontinuité, mais la même méthode était trop bourrin cette fois-ci, me voyant bloquée un membre du jury a dit \"les f'_n sont dans L^2\" et j'ai eu le déclic - Cauchy Schwarz !-, puis avec le théorème d'Ascoli j'ai résolu l'exo, ce qui a conclu mon oral.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Les trois membres du jury étaient très souriants et encourageants, du début à la fin de l'oral. J'ai pu cherché les exercices tranquillement, et le jury était toujours intéressé par ce que je faisais, même si c'était inattendu (par exemple pour le deuxième exo je pensais qu'il était plus compliqué qu'il ne l'était vraiment, du coup j'ai fait un cas particulier (K un ensemble fini de R^2, je faisais des dessins pour voir à quoi ressemblait L), ça a interloqué le membre du jury qui m'avait posé l'exo mais il m'a demandé d'expliquer ce que je faisais et il ne m'a pas interrompu, et j'ai eu le déclic [SPOILER RÉPONSE] de faire des extractions successives). Il n'y avait pas de temps mort et en même temps le jury ne me pressait pas, entre ça et leurs sourires (sur les visages et dans les voix) c'était vraiment le jury idéal.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Le temps passe très vite, je n'ai eu le temps que de mettre une vingtaine d'items alors que quand je faisais les plans chez moi j'en mettais au moins une cinquantaine. J'ai aussi été surprise qu'il y ait des questions de topologie générale alors que le rapport du jury insistait sur le cadre métrique, mais le jury n'avait pas l'air trop déçu que je n'arrive pas à répondre à ses questions de topologie générale, donc ça allait.

Note obtenue : 17.0

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Stone-Weierstrass

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je croyais que le dev allait etre trop long du coup j'ai admis un lemme (qui exhibe une suite de polynome qui CVU vers la valeur absolue sur [-1,1]. Finalement j'ai fini en moins de 10 min donc je leur ai proposé de quand meme démontrer le lemme et ils avaient l'air ok. Ensuite j'ai eu quelques questions de précision sur le dév, et d'application de Stone Weierstrass (montrer que X compact => C(X) est séparable et une autre question dont je ne me souviens plus) Sur le plan, pas trop de question pénible, j'avais mis le thm de prolongement de Tietze (en application a SW) et on m'a demandé de démontrer du coup le lemme d'urysohn dans le cadre métrique (qui dit que si on a 2 compacts disjoints alors on trouve une fonction continue qui vaut 1 sur l'un et 0 sur l'autre). Ensuite j'ai du montrer que A = {(un) tq |un| < 1/2^n} était compact dans l^1(N) Ensuite j'ai du montrer que si K est un compact convexe d'un evn, et f tq ||f(x)-f(y)|| <= ||x-y|| alors f admettait un point fixe.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Sympathique

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
pas de surprise j'avais préparé cette lecon pendant l'année

Note obtenue : 16.0

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.2022

Développement choisi par le jury : Pas de réponse fournie.

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.2018

Développement choisi par le jury : Ellipsoïde de John Loewner

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bienveillant

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1522

Autre leçon : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Théorème du point fixe de Brouwer

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie. Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour... Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache) Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete... Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe une indication et pof... Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi. Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien... Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...

Note obtenue : Pas de réponse fournie.