Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Il n'y a pas grand chose à dire, hormis que l'on utilise dans la preuve le fait que l'on connaisse les compacts de $\mathbb{R}^n$, donc il faut bien l'avoir écrit dans le plan de la leçon avant, et savoir le démontrer. Côté recasages à mon avis: Utilisation de la compacité Dimension finie en analyse Espaces vectoriels normés Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Même si on ne fait cela en développement, il me semble indispensable de connaître les démonstrations de ces théorèmes fondamentaux. En 15 minutes, je ne parvenais pas à faire les 3 équivalences de Riesz, je ne faisais que 1) équivalent à 2) en expliquant rapidement pourquoi les fermés bornés sont compacts en dimension finie (Bolzano-Weierstrass et extractions successives)

Version manuscrite, désolée pour l'écriture . Je fais uniquement l'équivalence des normes. Cela me prends déjà beaucoup de temps. Ma version préférée étant celle dans le Houkari. Cependant attention, cette version est un peu abusé dans la leçon sur la compacité (je le plaçais quand même en insistant sur le fait que tout bornée de K est compact par le thm de Bolzano Weierstrass, ce qui fait fonctionnner la démonstration). De plus, on peut augmenter l'argumentation par le fait que ce théorème nous donne des résultats de compacité. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024. Ma version du théorème de Reisz est différente de celle habituelle, et sans référence mais très jolie.

Les deux résultats qui composent ce développement sont classiques, donc connaître leur preuve n'est de toute façon pas du temps perdu ! Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Pas le développement le plus fun mais il est quand même important dans certaines leçons. Il y a plein de manières de faire ces preuves, à vous de choisir. On peut vite tomber dans des preuves à base de \"$E$ est isomorphe à $\mathbb R^n$ et comme on sait ce qu'il se passe dans $\mathbb R$, on en déduit le résultat\". C'est peut-être juste mais je trouve ça moins intéressant, à vous de voir là aussi. Je prends ce développement pour les leçons 206 et 208. On trouvera les preuves aux alentours des pages 50 (pour équivalence des normes) et 56 (pour Riesz).

Faire d'abord l'équivalence des normes puis le théorème de Riesz

Développement long. En fonction de la leçon tirée, je conseille de faire un choix sur les résultats que vous voudriez montrer devant le jury. Également, pour que ce développement ait du sens, il est plutôt souhaitable d'aborder les notions de topologie dans l'ordre présenté par le livre en référence. Je n'ai pas de source pour la preuve du lemme 1 dans mon pdf. Recasages : 151, 203, 205, 206, 208.

Je n'utilise le Gourdon que pour l'équivalence des normes.

Recasages: 203, 208 Pour que le développement soit assez long, il faut déjà ne pas aller trop vite, et montrer l'un ou les deux détails suivants: - les compacts en dimension finie sont les fermés bornés (et non dire que c'est immédiat parce que c'est isomorphe à $\mathbb{K}^n$ ou je ne sais quel autre revers de la main) (c'est un procédé d'extraction diagonale, c'est intéressant en soi) - une application continue coercive en dimension finie atteint un minimum pour montrer que la distance à un sev est atteinte Gourdon Analyse [3e édition] p50+56 Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil