Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

Le dev est au recto, lemmes et appli au verso Réf : Rombaldi p.45 et Gourdon p.50, 56, 57 Recasage : 148, 201, 203, 206, 208 Remarque : Développement classique à connaître. Sachez démontrer le lemme de distance à un sev (de dim finie) atteinte. Je vous conseille de connaître les applications classiques des résultats. '

ne pas écouter les puristes. ça se recase très bien en 219 mes recasages : 203,206,148,219,208 Savoir justifier l'histoire de la distance à un sev de dim finie, ça se démontre facilement à la main en utilisant Bolzano Weierstrass, ne pas utiliser l'horrible lemme dans le Gourdon qui généralisé ça pour la distance entre deux compacts. grâce à ça, ça justifie le recasage en 219'

Pour les leçons : 203, 206, 208. Il faut bien faire attention à ce que l'on admet pour faire la preuve, à savoir que les compacts de $\mathbb{R}$ pour la norme uniforme sont les fermés-bornés. Pour l'équivalence des normes, j'ai pris la démonstration du Gourdon mais en réalité je suis la progression du Isenmann-Pecatte. C'est juste que dans le IP, l'isomorphisme d'espaces vectoriels normés me posait problème, j'avais l'impression que ce n'était pas avec la bonne norme à l'arrivée (après j'ai sûrement loupé un argument). J'ai aussi utilisé comme livre : Agrégation interne : analyse, résumés de cours et exercices, de Skandalis, édition 2024'

Recasages: 203, 206, 208, 219 Je montre l'équivalence des normes puis le théorème de Riesz. Ca passe en 15 minutes mais faut pas perdre de temps, quitte à admettre le sens facile dans Riesz. C'était mon 2e dév le jour J dans la leçon sur la compacité. J'ai eu un exercice où il fallait l'utiliser: Soit E un espace vectoriel de dimension infinie et K un compact de E. Que dire de l'intérieur de K ? (SPOILER: c'est vide)'

Développement technique, mais qui se comprend et se retient facilement. De plus, l'équivalence des normes en dimension finie est un résultat très important, donc je pense qu'il est préférable de savoir le prouver.'

GOU Algebre p50 56'

Recasages: 203, 208 Pour que le développement soit assez long, il faut déjà ne pas aller trop vite, et montrer l'un ou les deux détails suivants: - les compacts en dimension finie sont les fermés bornés (et non dire que c'est immédiat parce que c'est isomorphe à $\mathbb{K}^n$ ou je ne sais quel autre revers de la main) (c'est un procédé d'extraction diagonale, c'est intéressant en soi) - une application continue coercive en dimension finie atteint un minimum pour montrer que la distance à un sev est atteinte Gourdon Analyse [3e édition] p50+56 Mon site: https://esuong-maths.fr'

Bien faire attention, il faut d'abord connaître les compacts de R !'

Je le béni pour m'avoir fait réussir mon oral d'analyse.'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. '

Il n'y a pas grand chose à dire, hormis que l'on utilise dans la preuve le fait que l'on connaisse les compacts de $\mathbb{R}^n$, donc il faut bien l'avoir écrit dans le plan de la leçon avant, et savoir le démontrer. Côté recasages à mon avis: Utilisation de la compacité Dimension finie en analyse Espaces vectoriels normés Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Même si on ne fait cela en développement, il me semble indispensable de connaître les démonstrations de ces théorèmes fondamentaux. En 15 minutes, je ne parvenais pas à faire les 3 équivalences de Riesz, je ne faisais que 1) équivalent à 2) en expliquant rapidement pourquoi les fermés bornés sont compacts en dimension finie (Bolzano-Weierstrass et extractions successives)'

Version manuscrite, désolée pour l'écriture . Je fais uniquement l'équivalence des normes. Cela me prends déjà beaucoup de temps. Ma version préférée étant celle dans le Houkari. Cependant attention, cette version est un peu abusé dans la leçon sur la compacité (je le plaçais quand même en insistant sur le fait que tout bornée de K est compact par le thm de Bolzano Weierstrass, ce qui fait fonctionnner la démonstration). De plus, on peut augmenter l'argumentation par le fait que ce théorème nous donne des résultats de compacité. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin. '

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024. Ma version du théorème de Reisz est différente de celle habituelle, et sans référence mais très jolie.'

Les deux résultats qui composent ce développement sont classiques, donc connaître leur preuve n'est de toute façon pas du temps perdu ! Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Pas le développement le plus fun mais il est quand même important dans certaines leçons. Il y a plein de manières de faire ces preuves, à vous de choisir. On peut vite tomber dans des preuves à base de \"$E$ est isomorphe à $\mathbb R^n$ et comme on sait ce qu'il se passe dans $\mathbb R$, on en déduit le résultat\". C'est peut-être juste mais je trouve ça moins intéressant, à vous de voir là aussi. Je prends ce développement pour les leçons 206 et 208. On trouvera les preuves aux alentours des pages 50 (pour équivalence des normes) et 56 (pour Riesz).'

Faire d'abord l'équivalence des normes puis le théorème de Riesz'

Développement long. En fonction de la leçon tirée, je conseille de faire un choix sur les résultats que vous voudriez montrer devant le jury. Également, pour que ce développement ait du sens, il est plutôt souhaitable d'aborder les notions de topologie dans l'ordre présenté par le livre en référence. Je n'ai pas de source pour la preuve du lemme 1 dans mon pdf. Recasages : 151, 203, 205, 206, 208.'

Je n'utilise le Gourdon que pour l'équivalence des normes. '