Décomposition polaire

Développement rédigé au cours de l'année. Garder un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

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Un développement que j'apprécie tout particulièrement. Il y a un argument de la référence que je n'utilise pas pour l'injectivité, j'utilise un lemme que je démontre avant, mais c'est juste que je n'aime pas passer par une diagonalisation simultanée (c'est un argument trop fort pour ce qu'on veut dire je trouve, mais chacun ses goûts !). Attention aux coquilles.'

Tous mes développements tapés au propre à l'ordi à l'adresse suivante : https://www.acarpentier.eu/developpements/'

Je suis passé sur ce développement à l'oral d'analyse. Il faut vraiment être au clair sur la version analogue complexe. Puis bien savoir démontrer que On(R) est un compact de Mn(R)...'

C’est un développement très (trop ?) classique. Mais il n’est pas nécessaire d’être original pour être admis au concours, donc ce n’est pas un inconvénient majeur. On utilise beaucoup de résultats au programme, donc vous devez être irréprochable sur ces derniers. À noter qu’il se recase dans de nombreuses leçons. De plus, la décomposition polaire figure sur le programme du concours.'

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Recasage: 106: Groupe linéaire. Sous-groupes de GL(E) 152: Endom. diagonalisable en dimension finie 157: Matrices symétriques réelles. Matrices hermitiennes 158: Endom. remarquables d'un e.v euclidien 203: Utilisation de la notion de compacité'

Tout ce que j'ai écrit ne rentre pas en 15 minutes, à choisir en fonction de ses goûts. Pour les leçons : 106, 152, 157, 158.'

Un développement classico classique, mais qui marche très bien: il est plutôt riche, passe bien dans les temps, et parle de topologie, ce qui est toujours mignon quand on est dans des espaces de matrices. Bien sûr, il faut mettre un accent important sur les applications qui sont très nombreuses. Pour les références, le H2G2 tome 1 le fait tout à fait honnêtement, et de mémoire, il y a aussi des applications classiques du résultat. Les recasages à mon avis: - Groupe linéaire d'un ev de dimension finie. - Endomorphismes diagonalisables - Matrices symétriques et hermitiennes - Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien - Exemples de décompositions de matrices Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Mon développement du jour J. Pensez bien que le polynôme interpolateur envoie les $\lambda$ sur les $\sqrt(\lambda) $ et pas l'inverse (sinon on aurait prit X²).'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. '

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans: -Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R). -Calcul effectif par la méthode de Newton -L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives. -Points extrémaux de la boule unité de GLn(R). Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies. Le lien: https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

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Également disponible dans le Isenmann-Pecatte. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Je le fais sans les polynômes de Lagrange. L'idée des sous-espaces propres est beaucoup plus naturelle. Leçons 106, 154, 157, 158'

Du grand classique, je rajoute une petite application aux composantes connexes de GL(n, R) parce que la démonstration seul de l'homéomorphismes est sans doute un peu courte. Attention aux éventuelles coquilles'

Du classique, très utile dans d'autres développements. Si vous êtes usuellement plutôt lent, attention à l'application proposée. Je le prends pour les leçons 152, 154, 157 et 158. On trouvera la preuve aux alentours de la page 202.'

Développement archi classique. Qu'on le présente ou pas il faut le connaître, ca tombe parfois aux écrits.'

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Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

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Classico mais passe toujours bien ! '

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Version complexe'

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Développement très classique, relativement court et pas trop dur. On utilise le théorème spectral, le théorème de diagonalisation simultanée, les polynomes d'interpolation de Lagrange, la caractérisation séquencielle de la continuité, la compacité de On(R), et le fait qu'une suite dans un compact qui admet une seule valeur d'adhérence est convergente. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention. NB3 : Le jury a choisi ce développement le jour de mon oral, on m'a, entre autres, posé les questions 1,2,3.'

D'après moi pour les leçons : 106, 150, 155, 158, 160. Attention il me semble que dans le NH2G2, il n'est pas mentionné à la fin qu'une suite dans un compact qui admet une unique valeur d'adhérence est convergente et que la démo s'arrête donc un tout petit peu trop tôt... NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

Ma preuve englobe le cas R ou C, à vous d'adapter en fonction de la leçon, du contexte.'

Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement : https://www.youtube.com/watch?v=0ME81RkiOhg'

Dans le cas complexe, qui ne change strictement rien à la démonstration. Présenté avec le couple (module,argument) qui me semble plus logique.'

Mis à jour le 20.06.17'

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