Décomposition polaire
Toute matrice inversible $M \in GL_n(\mathbb{R})$ se décompose de manière unique en $M=OS$ où $O \in O_n(\mathbb{R})$ et $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$.\r\rEn d'autres termes, l'application suivante est un homéomorphisme \r\r$$ \begin{array}{ccc}\rO_n(\mathbb{R}) \times S_n^{++}(\mathbb{R}) & \to & GL_n(\mathbb{R}) \\\r(O,S) & \longmapsto & OS \r\end{array}$$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 152 | Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.2025 |
| 5 | 154 | Exemples de décompositions de matrices. Applications. 2024 |
| 5 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025 |
| 5 | 157 | Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2025 |
| 4 | 150 | Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022 |
| 4 | 158 | Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2025 |
| 2 | 150 | Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.2025 |
| 1 | 203 | Utilisation de la notion de compacité.2025 |
Utilisateur : Alice M
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Courant Thomas
Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Oraux X-ENS Algèbre 3 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Coquillages & Poincaré
Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr
Références :
Utilisateur : Chloé
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : Carpentier Axel
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : Hugo
Également disponible dans le Isenmann-Pecatte.
Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
Références :
Utilisateur : tchen
Je le fais sans les polynômes de Lagrange. L'idée des sous-espaces propres est beaucoup plus naturelle.
Leçons 106, 154, 157, 158
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : Méthivier
Du grand classique, je rajoute une petite application aux composantes connexes de GL(n, R) parce que la démonstration seul de l'homéomorphismes est sans doute un peu courte. Attention aux éventuelles coquilles
Références :
Groupes de Lie classiques - Mneimné, Testard
Utilisateur : Brunel
Du classique, très utile dans d'autres développements. Si vous êtes usuellement plutôt lent, attention à l'application proposée.
Je le prends pour les leçons 152, 154, 157 et 158.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 202.
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Louis D
Un développement que j'apprécie tout particulièrement. Il y a un argument de la référence que je n'utilise pas pour l'injectivité, j'utilise un lemme que je démontre avant, mais c'est juste que je n'aime pas passer par une diagonalisation simultanée.
Attention aux coquilles.
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Bertin Thomas
Développement archi classique. Qu'on le présente ou pas il faut le connaître, ca tombe parfois aux écrits.
Références :
Utilisateur : JULIEN L
Références :
Utilisateur : RMaurice
Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
Référence sur le document.
Attention aux éventuels coquilles.
Références :
Utilisateur : Crépusculaire
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : Golaretuf
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Marie N
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : CONCHON Lucie
Références :
Utilisateur : Matmat
Développement très classique, relativement court et pas trop dur.
On utilise le théorème spectral, le théorème de diagonalisation simultanée, les polynomes d'interpolation de Lagrange, la caractérisation séquencielle de la continuité, la compacité de On(R), et le fait qu'une suite dans un compact qui admet une seule valeur d'adhérence est convergente.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : Le jury a choisi ce développement le jour de mon oral, on m'a, entre autres, posé les questions 1,2,3.
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : F.A.
D'après moi pour les leçons : 106, 150, 155, 158, 160.
Attention il me semble que dans le NH2G2, il n'est pas mentionné à la fin qu'une suite dans un compact qui admet une unique valeur d'adhérence est convergente et que la démo s'arrête donc un tout petit peu trop tôt...
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
Utilisateur : Marvin
Ma preuve englobe le cas R ou C, à vous d'adapter en fonction de la leçon, du contexte.
Références :
Matrices - Serre
Utilisateur : Pyrène
Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement :
https://www.youtube.com/watch?v=0ME81RkiOhg
Références :
Utilisateur : Alexis
Dans le cas complexe, qui ne change strictement rien à la démonstration.
Présenté avec le couple (module,argument) qui me semble plus logique.
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : anonyme105
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni