Maximum d'une fonction définie sur R^n

Référence Exercice 8.19 p. 514 - Dugardin, Rezzouk On considère l'ensemble \[ \mathcal{K}_n = \lbrace x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^{n}_{+}, x_1+\dots+x_n=1 \rbrace \] ainsi que la fonction $$ \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \dfrac{1}{2} \underset{i \ eq j}{\sum} x_i x_j \\ \end{array} $$ On utilisera la norme 1. 1) Justifier que la restriction de $f$ à $\mathcal{K}_n$ est majorée et qu'elle atteint sa borne supérieure en au moins un point de $\mathcal{K}_n$. Dans la suite on notera $M_n$ ce supremum. 2) Calculer $M_2$. 3) Soit $a \in \mathcal{K}_n$ tel que $M_n = f_n(a)$. a) En considérant la fonction $g_n : x \mapsto f_n(x) - f_n(a) \lVert x \rVert_{1}^{2}$, démontrer que si $a \in \mathbb{R}_{+}^{*n}$, alors $\ abla f_n(a) = f_n(a) \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$. b) Conclure alors par récurrence sur $n$ en ce qui concerne la valeur de $M_n$.