263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.2018

Rapport du jury 2017

Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Certains candidats trouveront utile de mentionner le théorème de Radon-Nikodym, même s’il ne s’agit pas de faire un cours abstrait sur l’absolue continuité. Le lien entre indépendance et produit des densités est un outil important. Le lien entre la somme de variables indépendantes et la convolution de leurs densités est trop souvent oublié. Ce résultat général peut être illustré par des exemples issus des lois usuelles. Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n’importe quelle variable aléatoire à partir d’une variable uniforme sur $[0,1]$. \r\rLes candidats proposent parfois en développement la caractérisation de la loi exponentielle comme étant l’unique loi absolument continue sans mémoire : c’est une bonne idée de développement de niveau élémentaire pour autant que les hypothèses soient bien posées et toutes les étapes bien justifiées. On pourra pousser ce développement à un niveau supérieur en s’intéressant au minimum ou aux sommes de telles lois. La preuve du théorème de Scheffé sur la convergence en loi peut faire l’objet d’une partie d’un développement. La loi de Cauchy offre encore des idées de développements intéressants (par exemple en la reliant au quotient de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée). \r\rPour aller plus loin, les candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème central limite. On peut aussi proposer en développement le théorème de Cochran.

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Rapport du jury 2017

Rapport du jury 2016

Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Les très bons candidats auront en tête le théorème de Radon-Nikodym, même s’il ne s’agit pas de faire un cours abstrait sur l’absolue continuité. Le lien entre indépendance et produit des densités est un outil important. Le lien entre la somme de variables indépendantes et la convolution de leurs densités est trop souvent oublié. Ce résultat général peut être illustré par des exemples issus des lois usuelles. Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n’importe quelle variable aléatoire à partir d’une variable uniforme sur $[0,1]$.\r\rLes candidats proposent parfois en développement la caractérisation de la loi exponentielle comme étant l’unique loi absolument continue sans mémoire : c’est une bonne idée de développement de niveau élémentaire pour autant que les hypothèses soient bien posées et toutes les étapes bien justifiées. On pourra pousser ce développement à un niveau supérieur en s’intéressant au minimum ou aux sommes de telles lois. La preuve du théorème de Scheffé sur la convergence en loi peut aussi faire l’objet d’un développement. La loi de Cauchy offre encore des idées de développements intéressants (par exemple en la reliant au quotient de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée).\r\rPour aller plus loin, les candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème central limite. On peut aussi proposer en développement le théorème de Cochran.

Rapport du jury 2015

Le jury attend des candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre l'indépendance et la convolution pourra être étudié.Les candidats pourront expliquer comment fabriquer n'importe quelle variable aléatoire à partir d'une variable uniforme sur $[0,1]$ et l'intérêt de ce résultat pour la simulation informatique.Pour aller plus loin, certains candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème central limite.

Rapport du jury 2014

Le jury attend des candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire à densité et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. \r\rLe lien entre l'indépendance et la convolution pourra être étudié. \r\rLes candidats pourront expliquer comment fabriquer n'importe quelle variable aléatoire à partir d'une variable uniforme sur $[0, 1]$ et l'intérêt de ce résultat pour la simulation informatique. \r\rPour aller plus loin, certains candidats pourront aborder la notion de vecteurs gaussiens et son lien avec le théorème limite central. \r

Développements

5	Théorème de Bernstein
5	Théorèmes de Cochran et de Fisher
5	Lemme de Scheffé et applications
5	Processus de Poisson
5	Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy
5	Statistiques d'ordre
5	Théorème central limite locale
5	Limite de variables aléatoires gaussiennes
5	Convergence vers la loi de Gumbel
5	Étude de la loi Gamma
5	Formule de Stirling (par le théorème central limite)
4	Théorème de récurrence de Poincaré et application
4	Méthode de Monte-Carlo
4	Théorème de Kolmogorov Khintchine
4	Estimateur du maximum de vraisemblance
4	Fonction caractéristique de Cauchy
4	Inversion de la fonction caractéristique
3	Théorème central limite
3	Théorème de Glivenko-Cantelli
3	Théorèmes de Dini et application au théorème de Glivenko-Cantelli
3	Théorème de Steinhaus
3	Formule d'inversion de Fourier dans L1
1	Absence de mémoire de la loi exponentielle
1	Exponentielle loi sans mémoire

Plans

Rajouter une version

Utilisateur : Florian Dussap

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Références :

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Retours

Utilisateur : Sarah | Année : 2018

Leçon choisie : 946

Autre leçon : Espaces de fonctions. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Convergence vers la loi de Gumbel

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
6 minutes: Cette fois je les avais préparées donc je pense avoir fait un truc correct, j'ai un peu débordé mais ils ne m'ont rien dit. Développement: C'est un développement que j'avais appris en fin d'année donc je n'avais pas suffisamment de recul. Je n'ai pas eu le temps de le finir mais j'ai su donné les points clef à l'oral. On m'a demandé de repréciser certains points que j'avais pas bien expliqué (notamment le passage de liminf d'une suite d’évènements à la liminf d'une suite numérique). Questions: Jury: Quelle propriété de la loi exponentielle connaissez vous ? M: Elle est sans mémoire. J:Montrez le. J'ai fait les calculs J: Est ce qu'il y a d'autre va à densité sans mémoire? M: Non c'est la seule. J: Montrez le. J'ai posé une va X de densité f en posant g=1-F (où F est la fct de répartition) j'ai trouvé que g(x+y)=g(x)g(y) mais je savais pas quoi faire de ça donc on est passé à autre chose. J: Quelle est la loi de la somme de 2 exp indépendantes? M: Je dirais une loi exp de paramètre lambda1+lambda2. J'ai fait les calculs et c'était pas ça. J: Calculez la loi de exp(X) où X suit une exponentielle de paramètre lambda. J'ai fait les calculs (théorème de transfert et changement de variable) J: Calculez la loi de X - partie entière inférieure de X où X suit une exponentielle de paramètre lambda. Toujours des calculs avec le thm de transfert et quelques astuces. J: Si X est une va à densité alors P(X=x)=0 pour tout x dans R, mais de manière générale si X est va quelconque dont la fct de répartition admet un saut en x, que peut on dire de P(X=x)? M: C'est la hauteur du saut. J: Est qu'est ce qu'on peut dire du nbre de points comme ça? M: Au plus dénombrable. J: Pourquoi? M:Sinon la somme des probas divergerait.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très sympathique, ils savaient exactement quand laisser réfléchir et quand donner un indice.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Les 3h sont encore passées très vite, heureusement j'avais un bon tirage avec une leçon que j'aimais bien. Sinon pas de surprises.

Note obtenue : 13.0

Références: