215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2025

Rapport du jury 2022

L'idée de base de cette leçon est qu'une fonction suffisamment régulière se comporte localement comme une application linéaire. De nombreuses différentielles usuelles (notamment issues de l'algèbre linéaire) peuvent ainsi être obtenues en calculant directement un développement limité. Sur ce point, une aisance raisonnable est attendue des candidats. \r\rUn cas particulier important est la caractérisation des fonctions holomorphes parmi les fonctions différentiables, et son interprétation géométrique. Les candidats semblent en général peu familiers avec les propriétés élémentaires des fonctions harmoniques, qui fournissent pourtant un riche champ d'applications.\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la différentielle de l'exponentielle matricielle, ainsi qu'aux points où celle-ci est un difféomorphisme local. \r\rPour ce qui concerne les applications, de nombreux thèmes relatifs aux leçons 214 ou 219 sont ici appropriés.

Rapport du jury 2019

Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. Beaucoup de candidats sont mis en difficulté sur les concepts de base du calcul différentiel et ces notions sont à consolider, au-delà de cette leçon en particulier. On doit savoir trouver la différentielle d’applications classiques,comme, par exemple, $M \in Gl_n(\textbf{R}) \mapsto M^{-1}$, $M \mapsto M^2$ ou encore $M \mapsto det(M)$ en revenant à la définition. Il est important de bien comprendre le développement sous-jacent de $f(x+h)$. La notation $o$ est souvent source de confusions ; trop de candidats l’utilisent sans en maîtriser la signification. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, en lien avec la hessienne, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2}(Ax|x)-(b|x)$,où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat. $\\$ Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.

Rapport du jury 2017

Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2} (Ax | x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat.\r\rPour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.

Rapport du jury 2016

Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). \r\rPour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.

Rapport du jury 2015

Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Une bonne maîtrise du théorème de différentiation composée est attendue. L'énoncé doit être connu et compris ; il faut pouvoir l'appliquer dans des situations simples. Signalons aussi que cette application pose souvent problème lorsque l'une des fonctions en jeu est une fonction réelle de variable réelle, comme lorsque que l'on calcule la différentielle de l'application $x \longmapsto ||x||$ pour la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$.La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe applications classiques quant à l'existence d'extremums locaux.

Rapport du jury 2014

Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Le théorème de différentiation composée doit être connu et pouvoir être appliqué dans des cas simples comme le calcul de la différentielle de l'application $x \rightarrow ||x||^2$ pour la norme euclidienne sur $R^n$ . \r\rLa notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ ainsi que les applications classiques quant à l'existence d'extrema locaux. \r