Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
On démontre d'abord le théorème de Berstein: Toute fonction continue sur l'intervalle $[0,1]$ est limite uniforme de sa suite de polynômes de Bernstein.
On en déduit le théorème de Weierstrass.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 209 | Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2026 |
| 3 | 203 | Utilisation de la notion de compacité.2026 |
Utilisateur : Papatte
X-ENS Analyse 2 page 125.
Il faut savoir ce qui se passe sur ]a;b[ et sur un intervalle I non borné.
On peut trouver un prolongement à ce développement dans le Gourdon Analyse page 231: à quelle condition les polynômes de la suite convergeant vers la fonction continue f sont-ils à coefficients entiers? (réponse: il faut et il suffit que f(0) et f(1) soient des entiers)
Application classique: que dire d'une fonction f continue sur [0;1] telle que pour tout entier n, l'intégrale sur [0;1] de t^n*f(t) est nulle ? (réponse: f est identiquement nulle)'
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : JULIEN L
Il faut savoir pourquoi ça marche pas dans R'
Références :
Cours d'analyse\r - Pommelet