Théorème d'Ascoli

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)

Je préfère la version du Daniel Li (contrairement à celle du Bernis ou je comprends moins bien) qui est bien détaillé surtout la construction de la bonne sous suite par extraction diagonale.

ATTENTION: je me permet de dire que la version de AA comporte une erreur. La suite n_k construite dans sa version dépends de epsilon ... On trouve certes après ||f_nk - f_nk'|| < epsilon pour k et k' grands, mais seulement pour ce epsilon ... C'est le contraire qu'il faut ! Trouver une extractrice (n_k) telle que, pour tout epsilon, pour k et k' assez grand, ||f_nk - f_nk'|| < epsilon. En particulier, le procédé d'extraction diagonale est obligatoire.

201 203 205 228 Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \ ight)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée. -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses