Théorème d'Ascoli

Je le montre pour une sous partie A de C(K,F) où K est compact et F est complet. A est alors relativement compacte ssi A est équicontinue et les A(x)=\overline{ {f(x) | f \in A} } sont relativement compacts. Le Rombaldi a ce cas métrique mais j'ai fait un peu différemment par moment, en particulier, je montre Heine équicontinu à partir de Heine continu appliqué à une fonction d'évaluation globale de K dans C(A,F). Pour la 208, on fait avec des normes infinies, Banach au lieu de complet, etc ... Mais ça ne change rien.'

201 - 203 - 205 - 208 - 228. J'ai proposé une application sur les sous-espaces vectoriels fermés de C([0,1], R) faisant aussi intervenir le théorème du graphe fermé et le théorème de Riesz.'

Développement long et très technique, nécessitant de nombreux prérequis. Malgré cela, il s'agit d'un de mes développements favoris. Je vous le recommande si vous appréciez la topologie et l'analyse fonctionnelle. De plus, le théorème d'Ascoli figure sur le programme du concours.'

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

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Je préfère la version du Daniel Li (contrairement à celle du Bernis ou je comprends moins bien) qui est bien détaillé surtout la construction de la bonne sous suite par extraction diagonale. '

ATTENTION: je me permet de dire que la version de AA comporte une erreur. La suite n_k construite dans sa version dépends de epsilon ... On trouve certes après ||f_nk - f_nk'|| < epsilon pour k et k' grands, mais seulement pour ce epsilon ... C'est le contraire qu'il faut ! Trouver une extractrice (n_k) telle que, pour tout epsilon, pour k et k' assez grand, ||f_nk - f_nk'|| < epsilon. En particulier, le procédé d'extraction diagonale est obligatoire.'

201 203 205 228 Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \right)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée. -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses'

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