245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan : (presque exclusivement le Queffélec avec le Rudin pour la dernière partie) I Fonctions holomorphes 1 Séries entières et fonctions analytiques 2 Notion d’holomorphie 3 Théorèmes de Cauchy 4 Conséquences (DEV 1) II Fonctions méromorphes 1 Généralités 2 Théorème des résidus III Produits infinis (DEV 2) \textbf{Défense du plan : }Défense plutôt basique en motivant via le fait qu'on introduit tôt la dérivée réelle et bien plus tard la dérivée complexe parce qu'on se rend compte que c'est beaucoup plus puissant. Ensuite je suis assez linéairement mon plan en insistant sur comment les résultats illustrent la différence avec le cas réel. J'ai quand même un peu bégayé pendant ma défense pcq j'avais pas eu le temps de la préparer au max pendant la préparation. \ ewline \textbf{Déroulement du développement : }Je m'étais assez bien entraîné sur ce développement donc j'ai plutôt bien déroulé et j'ai même eu le temps de montrer assez rapidement la formule intégrale via le noyau de Bergman, chose que je n'avais jamais le temps de faire quand je me préparais. Le plus important pour ce dév c'est d'avoir les formules bien en tête (Cauchy, CDV...) pour ne pas bégayer. \ ewline \textbf{Questions : }(j'en ai peut-être eu une ou deux de plus mais j'ai oublié hachek)\ ewline (sur le dév)\ ewline \textbf{1)} La norme \(L^2\) que vous considérez c'est toujours sur le même espace?\ ewline Oui, comme je l'avais dit à l'oral on voit apparaître la norme \(L^2\) sur \(\mathcal{D}(a,r)\) mais en particulier, comme \(\mathcal{D}(a,r)\subseteq\mathcal{D}\), elle est plus petite que la norme \(L^2\) qui nous intéresse.\ ewline \textbf{2)} Vous dites que le lemme implique la continuité des formes linéaires \(l_z\), comment ça marche exactement?\ ewline On applique le lemme en prenant le compact \(\{z\}\) et ça donne exactement ce qu'on veut (ça aussi je l'avais dit à l'oral pendant le développement).\ ewline \textbf{3)} Vous dites que la formule de Cauchy implique que \(\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta=2\pi a_nr^n\) (où \(f(z)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kz^k\) pour \(|z|<1\)), montrez-le.\ ewline Là je temporise un peu pcq j'ai plus exactement en tête la formule de Cauchy à l'ordre \(n\), puis je me dis que ça sera plus simple de démontrer directement la formule, ce que je fais en justifiant vite fait à l'oral l'interversion somme-intégrale.\ ewline (sur le plan)\ ewline \textbf{4)} Calculer \(\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx\) (que j'avais mis dans mon plan en application du théorème des résidus).\ ewline J'avais pas vraiment eu le temps de vérifier que je savais faire le calcul pendant ma préparation et je m'étais dit que juste en dessinant le contour à considérer dans mon annexe je devrais m'en sortir (quelle erreur). Du coup je pose \(f:z\mapsto\dfrac{\sin z}{z}\) et je lui applique le théorème des résidus sur le contour qui est formé de 2 demi-cercles reliés par des segments (cf Queffélec analyse complexe). Je bégaye pas mal mais j'arrive finalement à gérer 3 des bouts de contour : les deux segments sont faciles à gérer et je donne des arguments sur le petit demi-cercle qui ont eu l'air de les convaincre. Par contre, pour le grand demi-cercle, je galère pas mal et j'arrive pas à trouver l'argument donc au bout de 5min je leur dis que je bloque et un des jurys dit qu'on peut passer à la suite. C'était vraiment pas très agréable parce que le jury n'a pas prononcé un seul mot pendant tout le temps où je galérais (sauf pour me rectifier sur des petites erreurs, genre les bornes d'intégration), mais bon ça m'apprendra à mettre des résultats sans vérifier que je sais les faire.\ ewline (exos)\ ewline \textbf{5)} Que pouvez vous dire sur une fonction holomorphe sur un ouvert connexe et qui prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}\)?\ ewline Je dis qu'on va montrer qu'elle est constante, et qu'on peut par exemple utiliser le théorème de l'image ouverte même s'il n'est pas dans mon plan. Je pensais du coup qu'ils allaient me demander une autre preuve mais non ils ont eu l'air satisfait.\ ewline - Donnez l'énoncé du théorème de l'image ouverte du coup.\ ewline Je me suis exécuté tel leur humble serviteur.\ ewline \textbf{6)} Calculez \(\int_\gamma\frac{P'(z)}{P(z)}dz\) pour \(P\) polynôme non constant et \(\gamma\) lacet ne rencontrant pas les racines.\ ewline On va utiliser la formule pour \(\dfrac{P'}{P}\) et donc si \(P=\prod\limits_{k=1}^r(X-a_k)^{m_k}\) sous forme scindée, on a \(\dfrac{P'}{P}=\sum\limits_{k=1}^r\dfrac{m_k}{X-a_k}\). Ainsi, on trouve \(\int_\gamma\frac{P'(z)}{P(z)}dz=\sum\limits_{k=1}^rm_kI(\gamma,a_k)\).\ ewline - Montrez la formule.\ ewline On écrit \(P=(X-a_k)^{m_k}Q\) et on a alors \(P'=m_k(X-a_k)^{m_k-1}Q+(X-a_k)^{m_k}Q'\). Donc \(\dfrac{P'}{P}=\dfrac{m_k}{X-a_k}+\dfrac{Q'}{Q}\) et on conclut par récurrence car \(Q\) a une racine de moins que \(P\).\ ewline \textbf{6)} Soient \(\gamma_1\) et \(\gamma_2\) des lacets ne rencontrant pas \(0\), \(m,n\in\mathbb{N}\) et \(\gamma=\gamma_1^m\gamma_2^n\). Calculer \(I(\gamma,0)\).\ ewline Je commence par faire un dessin mais jsp pk dans ma tête l'indice des lacets par rapport à 0 était nul donc je commence à dire qu'on à l'air d'avoir toujours un indice nul, et là il me fait remarquer mon erreur. Du coup je refais un dessin en simplifiant avec des cercles et je dis que mettre le cercle à la puissance \(n\) ça lui fait faire \(n\) tours au lieu de \(1\) donc ça va sûrement faire la même chose. Là il me dit de faire le calcul et donc je commence à écrire le calcul explicite et je remarque qu'on se ramène à calculer l'intégrale de \(\dfrac{\gamma'}{\gamma}\) et donc on va trouver le résultat de la même manière que ce qu'on avait fait dans la question d'avant. J'ai pas le temps de l'écrire proprement au tableau pcq c'était la fin.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Il y avait deux hommes et une femme (je crois). Ils étaient plutôt sympas mais ils parlaient très peu et m'aidaient quasi pas pendant les questions donc c'était un peu chiant je me sentais seul. J'avais l'impression qu'ils faisaient autre chose en même temps, surtout qu'ils m'ont fait pas mal de fois répéter des choses que j'avais déjà dites. Il y avait aussi 3 spectatrices.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Comme en algèbre mon plan était plutôt long (un peu plus de 60 items de mémoire) et j'ai à peine eu la place de tout écrire. J'ai dû pas mal rush et il me restait 30-40 min pour réviser mes développements et préparer ma défense. C'était ok pour mes devs mais du coup je suis allé assez vite sur la préparation de la défense. Pour le reste, c'est les mêmes infos qu'en algèbre.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement : ils ont voulu revenir sur mes applications de l'IAF et des estimées de Cauchy, alors j'ai redit à peu près la même chose que dans mon développement et ça a été (+ un ou deux modules que j'avais oubliés). Un membre du jury a voulu s'attarder sur l'IAF : quel est le lien entre la forme que j'utilise avec la dérivée $f'$ et la forme avec la norme d'opérateur de $df$ ? Réponse : la jacobienne est une similitude, et on peut calculer. Avant que je puisse le faire, question de ce membre du jury pour conclure la discussion : quel nombre complexe représente cette matrice jacobienne ? La réponse est en effet $f'(z)$, et il n'a pas voulu d'argument plus précis (retenez cette information, elle sera utile plus tard). Questions sur le plan : Je me souviens de trois mais il y en a peut-être eu d'autres. 1) D'abord, \"pouvez-vous démontrer que $\Gamma$ est holomorphe ?\" Je dis qu'on va utiliser le théorème d'holomorphie sous l'intégrale, j'écris la domination sur un compact, tout se passe bien. La membre du jury a insisté à la fin du calcul pour savoir quel théorème j'utilise. 2) Puis des questions sur la métrique sur $H(\Omega)$, comment je la définis précisément. J'ai renvoyé le jury à mon plan puis ai expliqué la construction à partir de la famille de semi-normes. Puis on a parlé plus généralement de sous quelles conditions on peut définir une métrique avec une famille de semi-normes, et pourquoi ici on peut (il voulait les mots dénombrable et séparante). 3) Enfin une question plus ouverte, quelque chose comme \"vous avez insisté sur la différence entre les fonctions analytiques complexes et les fonctions réelles dérivables. Quelles différences y a-t-il entre les fonctions analytiques complexes et réelles, est-ce qu'il y a des énoncés vrais pour les complexes et pas pour les réelles ?\" Alors là je n'ai pas du tout su quoi répondre, pour moi c'était la même notion. Mais en fait non ! Pour me guider dans cette question, il me demande un exemple de fonction analytique sur R mais pour laquelle \"il faut changer le rayon suivant le point\". Alors je réfléchis un petit moment puis je trouve $\frac{1}{1+x^2}$. Il me demande d'expliquer ce qui se passe : en effet cette fonction a des singularités dans $\mathbb C$, donc le théorème de Cauchy ne donne pas un DSE de rayon arbitraire. Alors que dans $\mathbb C$ c'est le cas, parce qu'il n'y a pas de singularité \"cachée\", qu'on n'arrive pas à voir. Je crois que ça l'a satisfait. Exercices : 1) Soit $\Omega$ un ouvert connexe, trouver toutes les $f\in H(\Omega)$ telles que $f(\Omega)\subset\Omega$ et $f\circ f=f$. Je commence par dériver la relation et utiliser l'intégrité de $H(\Omega)$ pour voir que soit $f$ est constante, soit $f'\circ f=1$. Je dis que cette dernière relation devrait forcer que soit $f$ est constante, soit $f'=1$ mais qu'il faut s'en assurer. Si $f$ n'est pas constante, on voudrait donc s'assurer que l'image de $f$ a un point d'accumulation dans $\Omega$. J'avance timidement l'argument d'inversion locale holomorphe, puis me rends compte que l'inversion locale classique suffit (heureusement ils ne sont pas allés me chercher sur la version holomorphe). Mais la membre du jury n'a pas l'air convaincue, et me demande de revenir à la relation du début. J'écris quelques trucs mais je ne trouve pas, alors je reparle d'inversion locale avec un aplomb plus fort, et cette fois elle dit \"D'accord\". 2) Trouver les $f$ holomorphes sur $\Omega$ connexe telles que $f(z)=f(\overline z)$ pour tout $z\in\Omega$ (l'exo est donné par le membre du jury pas très précis de tout à l'heure, il n'a pas pris la peine de supposer que $\Omega$ est stable par conjugaison). J'ai commencé par vouloir exprimer la dérivée en un nombre réel mais le calcul n'aboutit pas (remarque du membre du jury : on ne suppose pas que $\Omega$ intersecte $\mathbb R$, je réponds que c'est garanti si $\Omega$ est stable par conjugaison et connexe par passage aux douanes, il est d'accord). Ensuite j'ai pas trop compris ce qu'on a fait, il m'a fait écrire la série entière (en supposant $\Omega=\mathbb C$) avant de m'affirmer que si une fonction fait intervenir $\overline z$ alors elle n'est pas holomorphe, je l'ai cru et on est revenus au cas général. Et là j'ai fini par trouver l'idée qui est Cauchy-Riemann (apparemment s'intéresser au cas précédent devait me donner l'intuition mais je vois pas le rapport). Je commence à faire le calcul, et le membre du jury me dit que ce n'est pas la peine, on voit bien que ça va donner une absurdité. Je l'ai cru. 3) Enfin j'ai dû montrer le principe du maximum, on en avait parlé plus tôt mais je ne sais plus quand ou pourquoi. NB : il n'est pas dans mon plan. J'ai tenté avec la formule de Cauchy pour majorer une valeur par le sup sur le cercle, mais il n'a pas voulu que j'utilise la représentation intégrale, juste la série entière. Alors j'ai fait des trucs un peu au hasard et ça avait l'air de le satisfaire, j'ai pu arriver au bout de la preuve (plus ou moins). En gros on considère le premier coefficient non-nul et on prend un $z$ selon l'argument du coefficient pour baisser la valeur de $f(z)$.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Sympathique, rit à mes tentatives de briser la glace. Un membre n'a pas du tout parlé, une autre a posé une question et un exo et me laissait réfléchir sans presque prendre la parole (juste quelques indications sporadiquement), et le dernier a beaucoup parlé, il se contentait d'idées de preuves et n'aimait pas trop rentrer dans les détails des calculs. Aussi il prenait le temps de m'expliquer des choses c'était assez cool.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La préparation s'est passé relativement sans problème, à part une grosse panique quand je me suis rendu compte qu'aucun de mes livres (j'ai même consulté le Rudin et le Saint-Raimond) n'énonce proprement le théorème d'holomorphie sous l'intégrale alors j'ai dû improviser l'énoncé. J'ai pu faire 59 items avec tout juste assez de place pour mon dernier développement. Pas de surprise pendant la défense et le développement, le jury a l'air d'écouter et prévient une minute avant la fin du développement (à la fin il m'a demandé de conclure en une phrase).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je n'avais pas tout à fait terminé mon développement (enfin, il restait un point à éclaircir, plus précisément), et un membre du jury m'a aidé. Ensuite, ils m'ont demandé pourquoi l'intégrande (de la transformée de Fourier de la gaussienne) était bien intégrable. Enfin, quelques questions sur mon plan, puis deux exercices (le premier était de calculer le maximum de $z \mapsto z(z-1)$ sur le disque unité, et le second était de déterminer les fonctions holomorphes $f$ qui vérifient $f \circ f = f$).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était d'une extrême bienveillance et a su rester professionnel et encourageant à tout instant malgré la piètre qualité de mon oral. Les questions posées ont pour but d'évaluer notre niveau de maîtrise sur les éléments de notre plan.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Deuxième jour d'oral, je me dis \"boarf, le tirage pourra pas être pire qu'hier !\" : bingo, il est pire qu'hier. Je tombe sur deux thèmes où je suis mauvais et où je maîtrise moyennement mes développements. Comme hier, je me ressaisis, je choisis celui où mes développements sont les plus aboutis et les plus simples à mémoriser, puis je me lance dans la préparation. À la fin, gros coup de stress à l'idée de faire face à des personnes extrêmement qualifiées dans le domaine pendant que je vais devoir me débrouiller pour survivre pendant une heure. Pour ne rien arranger, le jury choisit le développement que je maîtrise le moins (relu rapidement la veille) parce que je pense qu'ils en avaient déjà marre des polynômes orthogonaux. Mon exposé est assez approximatif, mais j'en viens à bout en 15 min pile poil (je me suis juste trompé dans la paramétrisation d'une partie du contour, mais j'ai pu corriger après la fin grâce à leur aide). La suite de l'oral fut compliquée à gérer car j'avais un peu perdu confiance, mais je pense que les membres du jury s'en sont aperçu et ils ont posé des questions simples afin de me remettre en confiance et de voir si je maîtrisais tout de même les fondamentaux. J'en suis ressorti extrêmement déçu. Au niveau de la note, je m'attendais à un résultat inférieur (du style 2 ou 3), mais je m'en tire finalement avec une note qui m'a laissé dans la course. Au niveau du temps, on a encore eu exactement les trois heures de préparation et le petit temps pour relire le développement choisi par le jury.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le plan de cette leçon est assez long à écrire, j'ai mis 1h25 pour le réécrire entièrement. J'ai ensuite retravaillé mes développements pendant une quarantaine de minutes, puis j'ai pu retravailler les deux tiers de mon plan (sauf la dernière partie). Concernant les développements : j'ai proposé le prolongement de Gamma, et un autre développement d'algèbre (propriétés de l'anneau des fonctions entières : il est intègre, non noetherien, ses inversible sont les fonctions ne s'annulant jamais, et ce sont aussi les fonctions qui sont l'exponentielle d'une fonction entière, puis pour finir, les éléments irréductibles de cet anneau sont les fonctions ayant un unique zéro, qui est simple, puis l'anneau n'est pas factoriel). Ils ont choisi ce dernier développement, j'avais parlé d'une étape un peu rapidement, ils sont donc revenus dessus après, et j'ai su la réexpliquer sans soucis. J'ai eu une question sur l'idéal que j'introduisais pour montrer que l'anneau n'est pas noetherien, un des jury ne semblait pas convaincu mais après explication il l'était beaucoup plus. On m'a posé comme question : \"Quel est le corps des fractions de cet anneau\" ? J'ai répondu que c'était les fonctions méromorphes sur C. Le jury m'a demandé si je savais l'idée de la preuve (en me précisant que je n'étais pas censé la savoir), j'ai répondu que je savais simplement qu'il s'agissait du théorème de Mittag, mais que je ne savais pas vraiment comment on le montrait, il avait l'air satisfait quand même ! On m'a demandé de prouver un exemple du plan que j'ai un peu peiné à retrouver (pas vraiment eu le temps de retenir les détails) mais sur la théorie je n'avais pas d'hésitation. Ensuite, on m'a demandé si j'avais une autre règle pour le calcul de series entières que Cauchy. J'ai dit oui, elle est dans mon plan : c'est D'Alembert. Puis on m'a dit : une autre. Je ne me souvenais plus du nom, et un jury m'a dit que c'était Hadamard, je l'ai donc énoncée et il était satisfait. On m'a demandé sur quel type d' ensemble mieux que connexe on avait une primitive, et, stressé par le fait de ne plus me rappeler du nom (simplement connexe) j'ai un peu bégayé. Par la suite, j'ai du avoir une question théorique sur le plan mais je ne me souviens plus laquelle. Puis on m'a demandé comment , sans les résidus, calculer l'integrale de 1+x^2 : évidemment par primitive directe. On m'a demandé où 1/cos z était holomorphe, puis écrire le DSE autour de zéro, faire un dessin, et discuter du rayon de convergence. J'ai eu le temps de dire que c'était au moins pi/2 , et on a juste entamé la preuve que c'était pi/2. Il restait moins d'une minute quand on m'a demandé ce qu'il en était de 1/z , et l'oral s'est terminé. J'oublie probablement quelques questions.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était composé de trois membres : deux hommes et une femme. Les deux premiers posaient les questions, et la femme n'a prononcé que quelques phrases pendant l'oral. Le second homme ne semblait pas très enjoué ni satisfait, la femme était neutre , tout comme le premier homme. Ils aidaient quand je ne savais pas.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La préparation s'est bien déroulée, et l'oral aussi. Bonne organisation également.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Aucune questions sur le développement. Sur le plan/cours: 1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy? Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives. - Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ? J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées). - Avez-vous une idée de la preuve ? J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après. - Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné? C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville). Exercices : 1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ? J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$. - Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ? J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça. 2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque. Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout. - Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ? Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait. 3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ? On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures). 4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$. Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu. Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Aucune questions sur le développement. Sur le plan/cours: 1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy? Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives. - Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ? J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées). - Avez-vous une idée de la preuve ? J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après. - Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné? C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville). Exercices : 1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ? J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$. - Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ? J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça. 2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque. Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout. - Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ? Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait. 3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ? On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures). 4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$. Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu. Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Aucune questions sur le développement. Sur le plan/cours: 1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy? Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives. - Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ? J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées). - Avez-vous une idée de la preuve ? J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après. - Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné? C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville). Exercices : 1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ? J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$. - Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ? J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça. 2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque. Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout. - Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ? Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait. 3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ? On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures). 4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$. Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu. Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Démo : toute application holomorphe possède la prop de la moyenne. Exo: existe t- il une fonction holomorphe vérifiant f(1/n)=(-1)^n (1/n)^3 F:R--> C définie par une intégrale à paramètre t'a pour tout x>10 f(x)=0. Montrer que f est constante égale à 0.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aide

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Défense de plan ok, jury attentif, puis développement (uniformisation de Riemann). Quelques questions sur le développement (pourquoi existe-t-il une racine carrée holomorphe, pourquoi l'image d'un ouvert simplement connexe par une application continue est-elle simplement connexe, pourquoi là c'est ouvert etc.) Comment démontre-t-on le théorème de Montel ? (Ascoli car équilipschitz car on contrôle les dérivées grâce à la formule de Cauchy blabla) Puis séances de questions : Q : montrer que $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ on a $\pi cotan( \pi )z = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z-n}$ R : alors bah déjà j'vais arranger le terme de droite pour bien dire que c'est convergent, puis après je vais isoler le terme d'ordre zéro... Ces deux fonctions sont méromorphes je vais montrer qu'elles ont les mêmes pôles... Q : oui mais elles ont quoi d'autre comme propriétés ? R : ah oui 1-périodique donc je regarde que le pole en zéro... je le fais. Quelques fois, mes méthodes de calculs ne lui plaisent pas trop (j'ai été partisan du plutôt faire plus que faire moins mais visiblement ils voulaient que j'aille moins loin dans les détails). Après faut borner quand la partie imaginaire explose je le fais... Puis Liouville, la différence est entière bornée .. et la limite en l'infini vers les imaginaires complexes donne le résultat Q : existe-t-il une fonction holomorphe au voisinage de zéro telle que $\forall n \in \mathbb{N}^*,~ f(1/n) = (-1)^n / n^3$ ? R : (là je sens bien que la réponse est non) bah euh j'vais voir... je suis parti dans la mauvaise direction je voulais regarder g(z) = f(1/z) mais elle m'a dit \"non non regardez elle vaut quoi en zéro ? Ah oui : du coup f(z) = o(z) donc en fait f(z) = C z^2 + o(z^2) je mets 1/n donc C = 0... du coup après en allant à l'ordre supérieur on a que C' = (-1)^n pas possible ca doit etre constant et voilà

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très sympa, mais seuls deux d'entre eux ont discuté (la troisième personne ne devait pas être très branchée analyse complexe) Je crois que je leur ai coupé la parole à un moment mais ils ne m'en ont visiblement pas voulu

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui très bien. Aucune surprise sur ce point de vue là, j'avais bien bossé la leçon.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques questions sur le développement, une ou deux sur le plan et surtout des exos. ils ont voulu que j'explique plus lentement le passage 'il existe epsilon tel que D_epsilon est inclus dans phi^-1(omega)' pour ceux qui connaissent le développement Vous avez dit que la différentielle étaitune similitude drecte, que vouliez vous dire ? Alors bon j'explique tout un tas de trucs, en fait il voulait seulement que je dise que ça conserve les angles. pourquoi une série entière de rayon de convergence fini a au moins un point singulier ? Alors par l'absurde, si tous les points sont réguliers t'as autour de chaque point du cercle de convergence un ouvert où ta fonction se prolonge en une fonction holomorphe, t'en extrait un sous recouvrement fini par compacité du cercle et ensuite gros dilemme parce que tu peux étendre ta série en une fonction holomorphe sur un disque plus grand mais est ce que ça veut dire que ta série entière a un rayon de convergence plus grand que prévu et bah ouais, suffit de regarder la formule de Cauchy sur un cercle plus grand où ta fonction est holomorphe et ... fin regarde la preuve de 'une fonction holomorphe est analytique c'est la même idée' Que sont les biholomorphismes du plan ? Les fonctions affines. On suppose le biholomorphisme nul en 0, on regarde l'inverse, on montre que 0 est un pôle de multiplicité 1 de l'inverse car la dérivée en 0 de f n'est pas nul, il faut pour le voir regarder la dérivée de la composée de la fonction avec sont inverse, bref on fait mumuse. on retire à l'inverse la partie en 1/z, c'est une fonction holomorphe, on montre qu'elle est bornée, on utilise le théorème de Liouville et du coup elle est constante et même nulle et on finit par montrer que le biholomorphisme est une fonction affine et fichtre quand t'as jamais vu ça de ta vie, t'es content d'en avoir fini.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Plutôt bien passé je crois, une leçon pas évidente, j'ai répondu aux questions et leurs questions remuaient beaucoup de notions de mon plan et étaient loin d'être triviales. Ils étaient assez neutres, j'ai un peu dépassé le temps imparti à la défense de plan mais ils n'ont rien dit. J'avais quelques craintes sur mon plan, basé sur l'Amar Matheron qui démontre la formule de Cauchy en mode je suis un psychopathe, j'aime les 1-formes, mais ils ne m'en ont pas parlé, ils m'ont posé quelques questions sur d'autres points du plan, mais pas sur la partie trash.