229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.2026

Leçon qui me faisait peur et ne m'intéressait pas dutout au début de l'année, et qui est devenue l'une de mes préférées. De manière générale, je trouve que la notion de conexité est une notion assez utile à travailler pour l'agreg, et ça paie généralement plutôt bien. Je pense qu'il est bien de s'éloigner de la structure un peu facile de I - Monotone , II - Convexe, ... . C'est ce que j'ai essayé de faire dans ce plan, en melangeant dans mes parties la monotonie et la convexité. Il me semble aussi important de ne pas oublier les applications de la monotonie (parties C et F) J'ai vu que certaines personnes cherchaient une références pour le lien entre conexité et fonctions affines, c'est fait dans un exercice du [Li] (Chap Hahn-Banach). C'est un item assez cool, qui permet entre autre de démontrer Jensen (Confiture a rédigé un document plutôt cool sur Hahn-Banach et cet item) Mes devs : Fonctions de Lyapunov, Méthode du gradient à pas optimal Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.'

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe. Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J. '

Mes plans sont très inspirés de Mr Syndrome( Mercii à lui !!) Désolée pour les fautes s'il y en a. bon courage :)'

J'ai un peu bâclé mon plan à la fin... C'est pas mon meilleur plan mais l'idée générale y est. Niveau dev. je ne faisais finalement plus Galton Watson car le jury en a marre donc je mettais mes fonctions strictement monotones. Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.'

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Plan réalisé par Lilian. On est restées dans les notions classiques sur cette leçon. Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année. Remarque : pour le théorème entre le lien des fonctions convexes et fonctions affines on n'a pas trouvé de référence dans un livre mais sur internet par contre théorème important surtout pour l'inégalité de Jensen'

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.'

(plan) La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.'

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).'

J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible. Je trouve mon dév sur Newton assez limite dans la partie fonction monotone. On aurait pu faire une partie sur les probas (voir ce que propose Mr_Syndrome). Pour le 2e dév sur le point de Fermat, il faut montrer que la fonction est strictement convexe plutôt que de suivre le Rouvière. Objectif agreg donne une rapide démonstration. J'utilise le Rombaldi, Gourdon et Objectif agreg pour la majeure partie et le Garet-Kurtzmann pour la partie probas. Il me semble que l'inégalité de Jensen n'est démontré que dans le Garet-Kurtzmann parmi ces 3 livres.'

J'étais un grand fan des fonctions convexes, mais malheureusement je n'aimais pas du tout ma partie sur les fonctions monotones. Même dans mes applications, cela ne concernait presque que les fonctions convexes. Comme développement, j'avais pris les critères de convexité d'une fonction différentiable (qui ne figure pas dans mon plan). Je n'en trouvais pas de deuxième donc le jour J j'aurais fait les inégalités de Young-Holder-Minkowski, mais qui est limite hors-sujet (la convexité n'intervient que pour l'inégalité de Young). Je n'avais pas réussi à trouver de développement qui me convienne sur les fonctions monotones. Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux ! Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan. N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.'

Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider ! '

J'aime bien.'

Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente : I. Fonctions monotones 1) Généralités, lien avec les dérivées 2) Pptes spécifiques, thm de Dini, 3) Fonctions monotones, limites et points fixes (DVT : Lotka Volterra) II. Fonctions convexes 1) Généralités 2) Cas réel A) Continuité, dérivabilité, comportement en l'infini B) Inégalités classiques 3) Sur Rn (DVT : fonctions convexes différentiables) III. Application en calcul numérique 1) f(x)=0 (DVT : Newton) 2) Optimisation (DVT : gradient à pas optimal)'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)... L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'

Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation \"futée\" de l'inégalité des pentes. L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez... Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières... J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)'

Voici un plan possible pour la leçon 229. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)'

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !'

Plan classique donc plutôt simple à apprendre. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation ! TL1 = Tout-en-un pour la licence 1'

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci. '

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus le jour du vrai oral, j'aurais mis plus d'applications (notamment l'inégalité de Hoeffding).'

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.'

J'ai trop de réf sur cette leçon. Je pense qu'on pourrais enlever le Ramis.'

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J'ai forcé Lotka-Volterra pour m'enlever un développement, mais c'est tout de même un développement plutôt hors sujet...'

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [RDO] Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3 : Ramis, Deschamps, Odoux [GouAn] Analyse : Gourdon [Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi [Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis [NR] No Reference :( [Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière'

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Pour moi une des leçons, si ce n'est la plus risquée à cause des fonctions monotones dont on n'entend plus parler depuis la sup... Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles... '

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Ebauche numérique de plan.'

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