Théorème de Paley-Wiener
Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R})$ d'ordre $N_0$ telle que $\mathsf{supp}(T) \subseteq [-r,r]$. Il existe alors $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ holomorphe telle que $F_{|\mathbb{R}} = \widehat{T}$ et pour tout $z \in \mathbb{C}$ on a
$$ | F(z)| \le C ( 1 + |z|)^{N_0} e^{r |Im(z|} $$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 254 | Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$. 2016 |
| 4 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2026 |
| 4 | 245 | Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.2026 |
| 3 | 236 | Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.2026 |
Utilisateur : René Chollet
Voici une version possible du théorème de Paley-Wiener, dont il existe une miriade d'énoncés plus ou moins similaires. Je l'ai trouvé en exercice corrigé dans le Li d'analyse fonctionnelle.
Le développement est vraiment long, on est un peu obligés d'admettre des bouts différents suivant les leçons dans lesquelles on le recase. Il convient selon moi pour les leçons 209 (dans le dernier point on utilise un argument de régularisation par convolution), 236 (un peu limite, mais c'est parce que le rapport parle de calcul d'intégrales au sein d'une preuve \"théorique\"), 239, 245 et 250.'
Références :
Cours d'analyse fonctionnelle - Daniel Li
Utilisateur : Demesmay
'
Références :
Elements de distributions et d'équations aux dérivées partielles\r - Zuily