Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

Le dev est au recto, contre ex et appli au verso Réf : El amrani p.47, et Beck, Malick, Peyré p.110 et 140 Recasage : 201, 209, 213, 234, 239, 245, 250 Remarque : Développement (trop) très classique avec un large recasage. Sachez appliquer le théorème ! C'est mentionné dans le rapport du jury, le plus simple est avec les polynômes de Hermite. Je vous conseille de faire un plan en 4 items et de prendre votre temps'

Développement technique, exploitant de nombreux théorèmes d'analyse au programme : théorème d'holomorphie sous le signe intégral, principe du prolongement analytique et injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1(\mathbb{R})$. Je pense qu'il est important de bien citer toutes les hypothèses requises pour ces théorèmes (à l'oral). En revanche, ce développement se comprend et se retient facilement. De plus, il se recase dans de très nombreuses leçons. Je le recommande.'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. '

C'est un grand grand classique qui se recase énormément. Le problème c'est que du coup les jury en ont un peu marre... '

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

On montre la densité des polynômes dans l'espace L² à poids p et on en déduit la densité des polynômes orthogonaux dans celui-ci, par leur construction (procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt).'

Attention, le jury n'aime pas ce développement, et les questions qui en découlent peuvent être compliquées. Évitez de le recaser à toutes les sauces dans la mesure du possible (à mon avis). Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

C'est trop classique pour le jury. Pour le prendre, il faut être béton ! Je le prends pour 213, 234, 250.'

Cette version est beaucoup inspirée de celle de Marie, merci à elle. Le développement est assez éloigné du bouquin mais plutôt intuitif. Je ne faisais pas la fin au tableau mais j'essayais de tendre une perche pour être interrogé dessus.'

'

'

'

'

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine'

Leçons 201, 207, 209, 213, 234, 239, 245, 250.'

Ce développement se recase dans de nombreuses leçons ! (p112)'

D'après moi pour les leçons : 207, 213, 234, 245 et 250. Le développement n'est pas difficile, mais risqué car il faut être prêt à répondre à la question \"à quoi ça sert ?\", et là les choses se compliquent. Pour information, le sujet d'analyse de 2010 utilisait les polynômes de Hermite pour la résolution d'une équation différentielle. Par ailleurs il est bon de se poser la question de l'optimalité, i.e. à partir de quelle puissance de $|x|$ dans l'exponentielle il n'y a plus densité (de mémoire en dessous de $1/2$ ça ne marche plus). NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

'

'

'

'

Pour Liliane'

Mis à jour le 23.04.17'

'

On cherche à montrer que $F^\bot = 0$. On utilisera la transformée de Fourier et le principe du prolongement analytique pour qu'une telle fonction est nulle. '

'