218 - Formules de Taylor. Exemples et applications.2026

Rapport du jury 2024

La connaissance des différentes formules de Taylor, en une, ou plusieurs variables, de leurs différences et de leurs champs d'applications, allant de la géométrie (par exemple la position d'une courbe ou une surface par rapport à son espace tangent) jusqu'aux probabilités (comme par exemple le théorème central limite), doit constituer le coeur de la leçon. Les énoncés devront être illustrés par des exemples pertinents. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Cette analyse impose une bonne compréhension des relations de comparaison (notamment o et O). Le jury s'attend à ce que le lien entre l'existence d'un développement limité à un ordre n et l'existence d'une dérivée n-ième soit connu. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d'établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d'une fonction dont on contrôle les dérivées successives. Pour les candidates et candidats solides, on peut mentionner des applications comme le lemme de Morse, l'étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d'extrema. On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées, ou encore à l'analyse de méthodes d'intégration numérique.

Rapport du jury 2017

Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques et surtout être capable de faire la différence entre les formules et de maîtriser leurs champs d’application. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives. Pour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées, ou encore à l’analyse de méthodes d’intégration numérique ou l’étude de consistance de l’approximation de $\frac{d^2}{dx^2}$ par différences finies. On soignera particulièrement le choix des développements.

Rapport du jury 2016

Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives. Pour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (Théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées. On soignera particulièrement le choix des développements.

Rapport du jury 2015

Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent. De plus la différence entre l'existence d'un développement limité à l'ordre deux et l'existence de dérivée seconde doit être connue. Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (par exemple le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)}|| \le 2^{k(n-k)/2} ||f||^{1 - k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque $f$ et sa dérivée $n$-ième sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.

Rapport du jury 2014

Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent. Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)} || \leq 2^{\frac{k(n-k)}{2}} ||f||^{1-k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque f et sa dérivée n-ème sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.