Théorème des lacunes d'Hadamard

Soit $(\lambda_n)_{ n \ge 0}$ une suite croissante d'entiers telle que pour tout $n \ge 0$ on ait $\lambda_{n+1}/\lambda_n \ge \alpha > 1$. \r\rSoit $f(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^{\lambda_n}$ une série entière de rayon de convergence égal à $1$ qu'on dit lacunaire.\r\rAlors tout point du cercle de module $1$ est singulier pour $f$. En d'autres termes pour tout $z$ de module $1$, pour tout ouvert contenant $\{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ et $z$, il n'existe pas de prolongement analytique de $f$ à cet ouvert.