Propriétés de l'indice et application au calcul d'intégrale

Soit $\gamma : I \rightarrow \mathbb{C}$ un chemin fermé de $\mathbb{C}$. Soit $a \in \mathbb{C} - \gamma (I)$. On définit l'indice du chemin $\gamma$ par rapport au point $a$ par $$\text{Ind}_{\gamma}(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} dz.$$ $\text{Ind}_{\gamma}$ est une fonction : - à valeurs entières sur $\mathbb{C} - \gamma(I)$ - constante sur chaque composante connexe de $\mathbb{C} - \gamma(I)$ - nulle sur la composante connexe non bornée de $\mathbb{C} - \gamma (I)$ Ex de calcul d'intégrale par le théorème des résidus (qui utilise l'indice) Réf : les livres d'analyse complexe (Amar Mathéron)