219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Un auditeur rentre dans la salle avant moi, puis le jury me donne les modalités de l’épreuve, et me dit de commencer quand je le souhaite. Je présente mon plan dans le temps imparti, puis le jury choisit à l’unanimité mon deuxième développement. Ils me rappellent que je peux consulter mes notes pendant une minute, et que si j’ai un trou à un moment donné, je peux leur demander de jeter un coup d'œil. Je tiens en 14 minutes, le jury me demande si j’ai quelque chose à ajouter, je leur dis que non. Concernant le développement, le jury me pose plusieurs questions. Sur le développement : Q : Dans l’existence de la projection dans le théorème, vous montrez qu’une suite est de Cauchy, pouvez-vous préciser pourquoi ? R : En effet, on a une majoration dépendant de l’indice de mes deux termes de ma suite, mais vu qu’on choisit le rang dépendamment d’un epsilon, on peut majorer par notre epsilon ; à noter que je cafouille un peu et peine à me faire comprendre à cause du stress et de la chaleur, je me ressaisis après cette question ! Q : Pourquoi la convergence de (y_n)_n vers y donne \| x - y \| = d(x,C) ? R : La continuité de la norme et de l’application carré permet de faire “rentrer” la limite dans ma norme, donc \| x - y \| \leq d(x,C) = inf_{y \in C} d(x,y), d’où l’égalité. Q : Dans l’unicité, pouvez-vous détailler comment vous utilisez l’identité du parallélogramme ? R : On réécrit tout bêtement et tout rentre dans l’ordre. Sur le plan : Q : Avez-vous une idée de comment démontrer la proposition 39 (minimisation d’une fonctionnelle convexe continue coercive) ? R : C’était un développement que j’avais préparé mais que je ne me sentais pas de présenter ; j’ai donné les grandes étapes en insistant sur la suite d’extractrices que l’on construit. Q : Est-ce que cette construction d’extractrices à un nom ? R : Le procédé d’extraction diagonale, j’étais heureux de connaître ce développement. Autres questions : Q : Soit f une fonction convexe et différentiable sur R, soit a dans R tel que a est point critique de f. Que dire de a ? R : J’avais l’intuition que a allait être un min local - et donc global - ce que j’ai expliqué au jury avec un dessin ; j’ai eu l’intuition de l’inégalité des trois pentes également, mais je ne savais plus trop comment conclure : le jury m’a dit qu’en prenant la première inégalité, puis par un taux d’accroissement, on récupérait une quantité positive, ça a fait tilt dans ma tête et f(c) >= f(a) pour c > a, on fait de même de l’autre côté et a est bien un min local. Q : On considère la fonction f : (x_1 , … , x_n) \mapsto \exp(n + 1 - \sum(x_k)) + \sum(\exp(x_k)). Etudier l'existence et la nature des points critiques de cette fonction. R : Elle est C^\infty grâce à l’exponentielle, donc on regarde les dérivées partielles, puis on obtient un système à n inconnues et n composantes, on a alors un unique point critique : (1 , … , 1), que j’ai eu un peu de mal à trouver car je me suis emmêlé avec les x_i ; pour donner la nature du point critique j’ai donc regardé la hessienne de la fonction, qui était une matrice symétrique réelle avec des a sur la diagonale, et des b partout ailleurs. J’invoque peut-être le théorème spectral pour essayer de dire quelque chose dessus, puis je dis une bêtise (j’ai dit que ses valeurs propres étaient donc positives, le jury me corrigera en me donnant l’exemple de -I_n), et après cela l’oral s’est fini. Mon impression était plutôt positive, je suis content du plan que j’ai présenté au jury, ma défense de plan était bien aussi, cette leçon se prête bien à de nombreux dessins au tableau, et très content de mon développement. Un peu déçu sur certaines questions où j’aurais pu aller plus vite mais pour de l’analyse je suis globalement satisfait.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Deux hommes, et une femme qui présidait le jury. Ils étaient extrêmement bienveillants, ils m’ont tout de suite mis en confiance, n’ont pas hésité à m’indiquer comment procéder quand je butais sur un exercice. Celle qui dirigeait était un peu en retrait et n’hésitait pas à m’indiquer quand je faisais fausse route, mais toujours avec bienveillance. Cependant, ils ne laissaient rien transparaître quant à ma prestation.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Il s’est mieux passé que ce que je pensais ! L’analyse me faisait plutôt peur car je ne suis pas très friand d’un grand nombre de leçons. J’ai été plutôt content d’avoir la 219 dans mon couplage car le plan est facile à élaborer je trouve, et j’aimais beaucoup mes développements. Petite autocritique sur mon plan : j’aurais pu mettre quelques exemples de plus.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
C’est une leçon que j'avais bien préparé cette année, je connaisssais bien mon plan et les références donc j'étais assez confiant. Mon plan était le suivant (merci Ewna): I] Conditions globales d'existence a)Existence et compacité b)Unicité et convexité c)Théorème de projection et conséquence théorique d)En analyse complexe II] L'utilisation du calcul différentiel a)Condition d'ordre 1 b)Condition d'ordre 2 III] Recherche d'extremum a)Méthode de Newton b)Méthode de Gradient Comme d’hab pour ce dev, quelques trous à compléter. On me demande ensuite d’expliquer ce qu’il se passe quand on projette sur un sous espace vectoriel fermé. J’ai bien ramé mais au final, on s’en sort, il faut utiliser la caractérisation. On me demande ensuite la justification de Newton dans la leçon, je l'ai mis car c'est mentionné dans le rapport du jury mais j’avais oublié pourquoi on en parlait, en fait c’est surtout une méthode pour approcher le 0 d’une dérivée. Pas d’autre question sur le plan malgré les nombreuses perches fournies dans celui-ci, on me propose en première exercice d’étudier $$\inf_{(a,b) \in \mathbb{R}^2}\int_0^1 \left( x^2-ax-b\right)^2 dx$$, exercice qui peut faire peur mais en fait il s’agit juste de calculer le projeté de la fonction carré sur l’espace des polynômes de degré au plus 1 pour le produit scalaire issu de l’intégrale. Il faut donc trouver une base orthonormée de $\mathbb{R}_1[X]$ et utiliser la formule du projeté orthogonal. Le jury a vu que je voyais comment faire et est passé à autre chose. Ensuite, exercice classique sur les extrema liés, je l’ai mis dans mon plan parce que c’est essentiel mais je voulais pas en parler. Mais en gros, minimiser la surface d’un parallélépipède sous une contrainte de volume, on trouve grâce au multiplicateur de Lagrange. Dernière question, montrer que $f(x,y)=x^2+y^2+10x\cos(y)$ admet un minimum. Il restait pas beaucoup de temps mais l’idée est de factoriser par $x^2+y^2$ et de montrer que $f$ est coercive et conclure.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Comme toujours jury très agréable

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Mon développement portait sur le théorème d'existence d'un minimum pour une fonction coercive, continue, convexe dans un Hilbert. J'ai écrit dans mon plan qu'il y avait unicité et le jury m'a directement fait comprendre que mes hypothèses ne garantissaient pas l'unicité et m'a fait construire un contre-exemple. Sinon, le développement s'est bien passé. Questions sur le développement : Q : Un membre de jury m'a dit qu'on pouvait conclure avec un autre résultat que l'on va admettre : Si (un) CV faiblement vers alpha alors il existe une combinaison convexe des uk, k <= n qui converge fortement vers alpha. Comment conclure avec ce résultat ? R : Le premier énoncé que le jury m'a donné était faux et j'ai galéré à conclure. 10 minutes plus tard, pendant la séance de question, le membre de jury qui m'a donné ce résultat a corrigé l'énoncé du résultat qu'il m'avait donné et j'ai pu conclure proprement avec. Q : Justifier (à l'oral) qu'une suite est non bornée si et seulement il existe une sous-suite qui converge vers +-inf. Q : Justifier que l'application x -> lim <x, y_k> est continue. Q : Au sujet de la convergence faible, montrer qu'une suite qui converge faiblement est bornée. R : Question bien réussie. Il faut utiliser le théorème de Banach-Steinhaus Il n'y a pas eu de questions sur le plan. On est passé directement à des exercices. Exercices : Q : Soit (y_1, ..., y_n) un vecteur de R^n et f : (x_1, ..., x_n) -> x_1 y_1 + ... + x_n y_n. Calculer le minimum de f sur la sphère de l^p. R : J'ai directement donné l'existence grâce à la compacité, pour le calculer il faut utiliser le théorème des extrema liés. J'ai donné la condition que vérifie le minimum et je me suis emmêlé dans les calculs. Le jury m'a donné des indications pour que je puisse avancer dans le calcul mais je n'ai pas réussi à totalement conclure. Le jury est passé à la question suivante. Q : Calculer (donner juste les idées) du minimum de phi : (a,b,c) -> intégrale de -1 à 1 de (t^3 - (at^2 + bt + c))^2 dt. R : J'ai directement donné l'argument de la projection orthogonal en explicitant les espaces vectoriels sur lesquels on travaillait. On m'a demandé de faire un dessin. Q : Soit f une fonction définie sur un compact K à valeurs dans R strictement convexe, montrer que f admet un maximum qui est atteint sur la frontière de K (et définir ce qu'est la frontière et la stricte convexité). R : J'ai bien posé le problème et j'ai fait un dessin (ce que le jury a semblé apprécier). Comme l'idée ne me venait pas, j'ai dit que je vais essayer en dimension 1. Je donne l'argument, puis je passe à la dimension supérieure, en donnant l'argument à l'oral mais j'ai pas eu le temps de tout formaliser. L'oral s'est terminée là dessus.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très bienveillant, qui met en confiance. Il donne de bonnes indications au bon moment.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui, je n'ai pas eu de surprise à part que la salle était équipée d'un tableau velleda. Mon plan était assez court (27 items il me semble) mais je pensais avoir dit l'essentiel et donc ce n'était pas la peine d'écrire plus.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- Pourquoi l’extractrice psi(k) est croissante ? (question sur le dev) - Pourquoi phi est une forme linéaire continue ? Pouvez-vous le montrer. (question sur le dev) - Vous avez montré un résultat d’existence. Est-ce qu’il y a unicité ? (question sur le dev) - Pouvez me tracer une fonction continue, coercive et convexe qui admet plusieurs minimiseurs ? - En changeant les hypothèses, est ce qu’on peut obtenir l’unicité ? démontrez-le. - On passe sur un exercice : Soit N un arc C1 paramétré fermé de [0,1] dans R². Montrer qu’il existence une sécante maximale dans cet arc et que les tangentes aux extrémités de cette sécante sont perpendiculaires à cette sécante. - Soit f la fonction qui a (x,y) associe x^4 + y^4 -4xy. Etudiez les extremums de f sur R²

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury bienveillant et souriant : il nous met en confiance !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Question : Soit u un Endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien E symétrique, ie u*=u. Montrer qu'il existe un réel r et un vecteur x de E non nul tels que u(x)=rx. Déduire le théorème spectral. Réponse : L'idée est de prendre f(x)=u(x).x (où désigne le produit scalaire) et g(x)=||x||^2 -1, et d'appliquer le théorème d'exterma liés.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plutôt équilibré, il y avait des coquilles dans le plan du coup ils sont revenu dessus. Q : comment je montre D'Alembert-Gauss (qui était dans le plan) R : par l'absurde, le polynome atteint un min non nul et DL en ce min Q : Extrema de \"somme des i*x_i\" sur la sphère. R : Extrema liés, bla bla ...(en fait il y en a pas besoin, la fonction est une forme linéaire qu'on peut donc voir comme un produit scalaire et c'est torché mais dans le cadre de la leçon c'était ce qu'ils attendaient) Q : f holomorphe sur C ne s'annulant pas sur le disque unité fermé et qui stabilise le cercle unité, que peut on en dire ? R : Elle est constante en appliquant le principe du max à f et 1/f sur le disque unité (petite subtilité ici pour 1/f puisque il faut être défini sur un voisinage du disque fermé) Q : Connaissez-vous des problèmes d'extrema sur des espaces de fonction ? R : Lax-Milgram (dans le plan) et application a une fonctionnelle obtenue à partir d'un opérateur différentiel, le min est alors solution Q : Un truc plus élémentaire ? R : Des problèmes en rapport avec les courbes Q : Par exemple, le plus simple ? R : Le plus court chemin reliant 2 pts Q : Comment vous faite ? R : On prend A et B ...[début de formalisme coupé par ce que l'oral allait se terminer, du coup heuristique]... je parle d'intégrer le produit scalaire de la dérivée du chemin et d'un vecteur unitaire colinéaire à AB, le boss accepte. (je n'avais pas parlé de ce genre de problèmes dans le plan, je pense du coup que c'est attendu ou au moins le mentionner dans la défense) Là les deux autres couillons me demandent de refaire l'exo d'holomorphie parce qu'ils ne sont toujours pas convaincu (alors qu'ils m'ont fortement incité à considérer 1/f donc a priori ils ont la même solution que moi)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Questions faciles. En ce qui concerne le jury : un sympa, un raleur (les coquilles l'ont énervé), un neutre (en mode big boss qui posait de vrais questions)

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Surpris par le type qui a demandé a ses collègues \"je suis pas entrain de me faire arnaqué là ?\" après avoir entendu ma réponse à son exo (tjrs l'holomorphie). J'en conclut qu'il ne faut pas se mettre trop de pression sur notre niveau, mais simplement ne pas faire d'erreurs bêtes -_-' (On le savait déjà, certes)