Formule sommatoire de Poisson et fonction Theta de Jacobi

Il s'agit ici de montrer la formule sommatoire de Poisson et une application à la fonction $\theta$ de Jacobi : Si pour $z\in\mathbb{H}$, on note $\theta(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{in^2 \pi z}$, alors : $$\forall z\in\mathbb{H}, \theta\left(\frac{-1}{z}\right)=\sqrt{z} e^{-\frac{i\pi}{4}}\theta(z)$$