Espace de Bergman du disque unité
L'espace de Bergman du disque unité est $B^2( \mathbb{D} ) := Hol(\mathbb{D}) \cap L^2(\mathbb{D} )$.
$(B^2(\mathbb{D} ) , \|.\|_{L^2} )$ est un espace de Hilbert.
Une base hilbertienne de cet espace est $(z \mapsto z^n.\sqrt{\frac{n+1}{\pi}})_n$.
De plus, $B^2(\mathbb{D} )$ possède un noyau de reproduction, $K_{B^2(\mathbb{D})}(z;w) := \frac{1}{\pi}.\frac{1}{(1-\overline{w}z)^2}$, qui vérifie :
- $\overline{K_{B^2(\mathbb{D})}(z;.)} \in B^2( \mathbb{D} )$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$
- $f(z) = \iint_{\mathbb{D}} K(z;w)f(w) dxdy$, $\forall $f$ \in B^2(\mathbb{D})$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 245 | Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 205 | Espaces complets. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 208 | Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2026 |
| 5 | 213 | Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2026 |
| 5 | 234 | Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.2026 |
| 5 | 202 | Exemples de parties denses et applications.2019 |
| 5 | 243 | Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.2026 |
| 3 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2026 |
Utilisateur : Xx_MasterPoulet13_xX
Il faut un peu s'entraîner pour tenir dans les 15 minutes mais après le développement se recase très bien. Je suis tombé dessus le jour J et j'ai réussi à tout faire dans les temps alors que j'y avais jamais réussi quand je m'entraînais.
Il faut bien maitriser tout ce qu'on fait pendant le développement (convergence uniforme sur les compacts, lien avec la cvs...). Le jury ne m'a pas posé de questions sur les espaces de Hilbert à noyau reproduisant et heureusement parce que j'avais pas grand chose à dire dessus.'
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition - Julien Bernis, Laurent Bernis
Utilisateur : 20160
Le dernier de la bande à avoir intégré mon couplage. Je ne le recase que deux fois parce que je ne l'aime pas bien mais dans l'absolu les possibilités de recasage sont outrancières pour ce développement qui a été la grosse mode de 2023. Apparemment, les applications résident dans la théorie des réseaux de neurones, un dév d'actualité donc. Attention, il faut bien le maîtriser pour ne pas dépasser le temps imparti. On peut notamment réserver le noyau reproduisant aux questions. Pour le défendre enfin, rien de plus simple (si on a le tuyau) : la formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes laisse entendre que les $z \mapsto z^n$ puissent être une base hilbertienne d'un certain espace ; on se place donc sur $L^2$ du disque, afin d'avoir des fonctions holomorphes qui soient exactement des séries entières.'
Références :
Analyse Complexe - Amar, Mathéron
Utilisateur : Baptiste Breton
- Contrôle de la métrique associée à la convergence uniforme sur tout compact par la norme $L^2$ ;
- L'espace de Bergman est un espace de Hilbert ;
- Les monômes (normalisés) forment une base hilbertienne ;
- Forme intégrale des fonctions de l'espace de Bergman ;
- Complément sur l'expression de la norme $L^2$ en fonction des coefficients du DSE.
Leçons concernées : 201, 205, 208, 213, 234, 245'
Références :
Utilisateur : Paviet
Dev costaud et assez complet.
J'ai peiné à trouver une réf qui me convenait et à écrire le dév, mais j'ai fini par choisir le Queffélec^2 qui fait ça vite et bien. J'ai fait le dév en oral blanc dans l'année, c'est passé du lemme jusqu'au noyau reproduisant.
J'ai aussi rajouté certains des résultats utilisés sur mon document.
J'ai dû compresser le fichier, je le scannerai en deux partie dès que possible.'
Références :
Utilisateur : Elouan Renault
Développement long et très technique, nécessitant de nombreux prérequis. Malgré cela, il s'agit d'un de mes développements favoris. Il rentre dans de nombreuses leçons, mais ce sont des leçons où j'avais déjà beaucoup de développements. Donc ce n'était peut-être pas un choix si judicieux que ça.'
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition - Julien Bernis, Laurent Bernis
Utilisateur : Courant Thomas
Très bon développement qui se recase très bien. En plus de la preuve, j'ai ajouté des compléments sur la topologie de l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert.
Le lien vers le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html'
Références :
Analyse complexe et applications - Martine Queffélec, Hervé Queffélec
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Utilisateur : Brunel
Ce dév est très sympa et en regardant la preuve on comprend pourquoi il se recase autant ! Il n'est pas simple mais pas particulièrement dur, il utilise juste beaucoup de gros résultats/théorèmes je trouve. En fonction de la vitesse à laquelle vous allez il est clairement possible de sauter la proposition !
C'est une très bonne preuve pour l'oral mais à l'écrit c'est compliqué (et surtout très très long!) de tout écrire parfaitement donc il faut prendre ce que j'ai écrit avec du recul et compléter les quelques petits flous techniques (que j'ai normalement pointés du doigt quand c'était nécessaire).
Je prends ce développement pour les leçons 205, 213, 234, 243 et 245.
On trouve la preuve aux alentours de la page 105. Je trouve qu'il va très vite sur certains arguments donc n'hésitez pas à regarder les précédentes rédactions de ce développement, elles sont très intéressantes ! '
Références :
Espaces de Hilbert et opérateurs - Bayen, Margaria
Utilisateur : auntyyye
Recasages : 201,245,243,234,213,208,205
*LE* développement d'analyse tendance de l'année 2023. Belle application de la projection sur un convexe fermé dans un Hilbert (critère de densité utilisé pour la famille totale + théorème de rpz de Riesz)
Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6
Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4 '
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Utilisateur : Lavos
Il faut aller assez vite pour tout faire en 15 minutes mais ça rentre avec de l'entraînement. '
Références :
Analyse complexe et applications - Martine Queffélec, Hervé Queffélec
Espaces de Hilbert et opérateurs - Bayen, Margaria
Utilisateur : Maé Miachon Lemeulle
existe aussi dans le Mbekhta-Queffélec, et dans le Bernis.'
Références :
Espaces de Hilbert et opérateurs - Bayen, Margaria
Utilisateur : Titi le mathématicien
https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine'
Références :
Utilisateur : Owen
Référence :
Charles, Mbekhta, Quéffélec - Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs. (p. 124)'
Références :
Utilisateur : Agnielli
La partie sur le noyau de reproduction peut être écartée si nécessaire.
Ref : Bayen,Margaria ; Espaces de Hilbert et opérateurs ; p104.'
Références :
Espaces de Hilbert et opérateurs - Bayen, Margaria