235 - Problèmes d’interversion de symboles en analyse.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le dev : Q : Pouvez-vous justifier en quoi votre développement rentre dans cette leçon ? (on m'a posé cette question, AVANT le dev, juste après les 6 mins, le th de Banach-Steinhaus peut-être vu comme une permutation de symboles entre un \"pour tout\" et un \"il existe\" si on écrit proprement les choses, c'est explicitement mentionné dans les approfondissements dans le rapport du jury. De manière plus anecdotique, il y a aussi une convergence dominée dans l'application à l'existence d'une série de Fourier divergente). Q : Dans le développement n'a t-on pas prouvé beaucoup plus que l'existence d'une série de Fourier divergente ? (le th de Baire nous garantit la densité de ces objects pathologiques dans C_2pi.) Q : Connaissez-vous d'autres applications de Banach-Steinhaus ? (la plus connue est sans doute celle portant sur une limite simple d'applications linéaires continues qui est continue, voir l'annexe du Gourdon) Q : Pouvez-vous réexpliquer l'argument donné pour dire que le sinus cardinal n'est pas intégrable ? (par l'absurde si le sinus cardinal était intégrable, on pose f l'indicatrice du segment [-1,1], alors f et se transformée de Fourier (qui est le sinus cardinal à une constante près) seraient intégrables donc par formule inversion de Fourier, f serait coïnciderait presque partout avec une fonction continue (la transformée de Fourier d'une fonction L1 est toujours continue), c'est absurde). Q : Preuve que la transformée de Fourier d'une fonction L1 est dans C_0(R) ? (c'est Riemann-Lebesgue, pour la continuité c'est de la continuité sous l'intégrale, pour la limite aux infinis on raisonne par densité) Q : Quelques idées de preuves de Baire ? (il faut montrer que tout ouvert non vide intersecte non trivialement l'intersection des ouverts denses, la complétude est importante pour appliquer le th des fermés emboités, ça leur a suffit, pour plus de détails voir l'annexe du Gourdon). Questions sur le plan : Q : démontrer que l'intégrale sur sur R_+ de x/(exp(x)-1) vaut zeta(2). (développer 1/(1-exp(-x)) en série entière puis justifier l'interversion série-intégrale par Beppo-Levi ou Fubini-Tonelli) Q : Peut-on prolonger sur une partie de C la formule des compléments dont vous donnez la version réelle ? (La fonction gamma est naturellement définie et holomorphe sur le demi-plan de partie réelle >0, si vous êtes courageux vous pouvez dire qu'il y a des prolongements holomorphes à C\Z-, ça n'a pas été mon cas. La réponse attendue étant que la formule des complément se prolonge sur les complexes vérifiant 0<Re(z)<1 en vertu du th des zéros isolés). Q : Pourquoi vous dites que les fonctions C^\infty(R) à support compact sont denses dans les fonctions continues à support compact ? Pour quelle topologie ? (pour la topologie de la cv uniforme, c'est un résultat de convolution avec une fonction plateau que l'on trafique en approximation de l'unité, tout est détaillé dans El Amrani ou Daniel Li en cas de besoin) Q : Dans votre défense de plan vous avez indiqué que la compacité permet des interversions de symboles, pouvez-vous détailler ? (j'ai détaillé le th de Heine, et de Dini qui permettent à chaque fois une interversion entre un pour tout et un il existe, j'ai aussi abordé les raisonnements avec Borel Lebesgue , comme dans la preuve de Stone-Weierstrass) Q : Contre exemple au th de CV dominée si on n'a pas de domination intégrable ? (faire des fonctions avec un triangle de plus en plus pointu, de sorte à avoir une aire constante égale à 1 mais une limite simple nulle presque partout) Q : lim quand n tend vers l'infini de l'intégrale de 0 à n de (1-x/n)^n dx (remplacer l'intégrale de 0 à n par une intégrale sur R+ en introduisant une indicatrice dans l'intégrale, puis conclure par CV dominée, la domination par exp(-x) est une inégalité de convexité). Les exercices : Ex 1 : Soit f : R -> R continue. On suppose qu'il existe a>0 tel que pour tout t dans R, |f(t)|<= exp(-a|t|). Montrer que la transformée de Fourier de f est développable en série entière au voisinage de 0. (Dans la définition de transformée de Fourier développer en série entière le e^(-ixt), ensuite il faut pouvoir intervertir série et intégrale : on considère cette même quantité avec des valeurs absolues pour pouvoir justifier l'interversion par Fubini, on se rend compte que pour x dans ]-a,a[ ça marche et que l'on peut intervertir ce qui nous donne un développement en série entière autour de 0). Ex 2 : Il me redéfinissent S(R), et me demandent de montrer que la transformée de Fourier est une bijection sur S(R). Puis si c'est le cas entre L^1(R) et C_0(R) ? (Pour montrer que pour f \in S(R), sa transformée de Fourier est dans S(R) il faut surtout savoir calculer la transformée de Fourier d'une dérivée (IPP), puis la dérivée d'une transformée de Fourier (dérivation sous l'intégrale), après en étant un peu soigneux sur les indices on s'en sort. La formule d'inversion de Fourier garantit le côté bijectif sur S(R). Sur L^1(R) -> C_0(R) ce n'est pas bijectif en vertu du théorème de l'application ouverte (ce th est difficile et le jury a acquiescé quand j'ai dis que je l'admettais) mais j'ai dit que l'on pouvait l'utiliser pour contredire la surjectivité, ça leur a suffit). Ex 3 : Soit (u_n) une suite de complexes et p>=1. On suppose que pour tout (v_n) dans l_p la série \sigma u_n v_n converger. Montrer que (u_n) appartient à l_q (où q est l'exposant conjugué de p) (je sèche un peu donc je commence à écrire l'inégalité de Holder pour des sommes finies, et là illumination je comprends que c'est un exemple d'utilisation de Banach-Steinhaus : il suffit de considérer la suite des applications linéaires qui sont des sommes partielles des u_k v_k pour n de plus en plus grand. Par Holder on peut calculer la norme d'opérateur de ces applications et conclure par Banach-Steinhaus que la suite des sommes partielles des |u_k|^q converge, ce qui revient à dire que (u_n) est dans l_q.) Ex 4 : Soit a > 0, pour x positif on pose u_n(x) = n^a*x*exp(-nx)/(1+n²). On note f la série de fonctions de terme général u_n. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le paramètre a pour que f soit continue (à droite) en 0. (je propose de commencer par regarder quand est-ce qu'il y a convergence normale, ce qui permettrait de conclure. Après une petite étude des variations des fonctions u_n et l'utilisation du critère de Riemann on voit que pour a<2 on a convergence normale, donc continuité en 0. L'étude de ma norme infinie a fait apparaitre que le sup était réalisé pour des points de l'ordre de 1/n. Un jury m'incite donc à étudier la limite de f(1/n), un peu fatigué je n'ai pas été très adroit dans les majorations et l'oral c'est fini là-dessus mais en fait cette quantité diverge donc on a continuité ssi a<2.)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury adorable, très souriant. Beaucoup de signes d'approbations pendant le développement puis les exercices.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Cela s'est déroulé comme je l'imaginais, après des petites questions pour vérifier que je savais échanger des intégrales avec des limites ils m'ont très vite fait confiance ce qui fait que quelques mots clés leur suffisaient souvent en guise de réponse à leur questions. Jury infiniment plus dynamique que l'algèbre la veille donc on a pu exploré bien plus de thèmes et j'ai pu répondre à bien plus de questions.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Nombreuses questions autour des séries de Fourier (j'avais mis peu de théorème sur ma feuille et j'étais allé un peu vite sur le développement). Rien de totalement hors des clous. On m'a demandé ce que j'aurais ajouté comme applications en plus (j'avais dit dans ma présentation que je n'avais pas pu tous les citer car la leçon est très dense et que je n'avais pas forcément eu la place d'être exhaustive dans cette partie) : j'ai répondu que l'on pouvait parlé de prolongement de fonctions, comme la fonction Gamma ou encore montrer que les polygones orthogonaux forment une base de L^2. C'était deux autres développements que j'avais préparé. J'ai eu des questions sur une de mes applications (dénombrement des solutions d'une équation diophantienne) qui utilisait juste un produit de Cauchy, notamment sur sa pertinence dans le plan. Pour finir, le jury qui avait l'air de beaucoup aimé les séries de Fourier m'a demandé de montré l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur en utilisant la fonction énergie.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Deux jurys fort sympathique et un troisième qui m'a posé l'essentiel des questions autour des séries de Fourier pas forcément toujours en douceur.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Les plans sont ramassée 10 minutes avant la fin, soit presque 20 minutes avant le passage devant le jury.