208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan : I/ Espaces vectoriels normés 1) Normes 2) Applications linéaires continues 3) Cas de la dimension finie II/ Espaces de Hilbert III/ Espaces $L^p$ Mon plan faisait très catalogue et manquait d'exemples selon moi. J'aurais aimé avoir plus de temps pour mettre des items qui permettent de comprendre l'intérêt des exemples d'espaces que j'introduis etc,... J'ai donc justifié cela dans ma défense de plan. Défense du plan : J'ai dit que l'on introduit les espaces vectoriels assez tôt dans les études supérieure, et que le fait de rajouter une norme nous permet de définit une topologie. Après j'introduis l'équivalence des normes etc,... Je trouve que ma défense n'était pas géniale parce qu'en réalité j'avais vraiment du mal à motiver cette leçon. Ce que j'ai fait, c'est que j'ai énoncé 1 ou 2 résultats que je n'avais pas mis dans mon plan car je ne savais pas les démontrer, mais que j'estimais vraiment importants. Déroulement du développement : Je crois avoir fait environ 14min30. Je ne montre que le côté Hilbert et la base hilbertienne. Résumé de l'échange avec le jury Questions sur le développement : Q) Tout au long du développement vous indiquez un changement de variables, pouvez-vous l'écrire explicitement? \\ R) Oui : $$\left\{ \begin{array}{rcl}[0;r[ \times [0;2\pi[&\to&D(a,r)\\ (\rho, \theta) &\mapsto &(a + \rho cos(\theta), \rho sin(\theta)) \end{array} \right. $$ Au final le jury ne voulait pas que je l'écrive en coordonnées cartésiennes (puis en plus il aurait fallu que je sépare $a$ en sa partie réelle et sa partie imaginaire), et on a passé bien 5min dessus pour que je comprenne qu'ils voulaient que j'écrive $a + \rho e^{i\theta}$. Q) Pourquoi il y a un $\rho$ qui apparaît dans l'intégrale avec le changement de variables ? R) C'est le jacobien. Q) Et dans le cas général c'est juste le jacobien ? R) Non, c'est la valeur absolue du jacobien. Q) Vous dites que l'on peut calculer l'intégrale de 1 sur le disque $D(a,r)$ par changement de coordonnées, mais est-ce qu'il n'y a pas une interprétation? R) Si, c'est l'aire du disque. Q) Vous affirmez que $1-|a|=d(a,Fr(D))$, illustrez le. R) (J'ai fait un dessin du disque avec le point $a$) Q) Quand vous écrivez votre intégrale $\int f(z)dz$, qu'est-ce que ça signifie? R) J'explique qu'il faut le voir comme $\int\int f(x+iy)dxdy$. Q) Ok parce que habituellement en analyse complexe on intègre sur quoi? R) Le long de chemins. Q) Oui. Vous utilisez le théorème de Weierstrass, énoncez-le. R) $\mathcal{H}(\Omega)$ est fermé dans $\mathcal{C}(\Omega)$ (qui est complet), et ici $\Omega = D$ Q) Vous dîtes qu'il y a convergence, pour quelle topologie? R) Pour la topologie de convergence uniforme sur tout compact (là j'étais en sueur parce que j'étais pas à l'aise dessus et j'avais peur qu'ils me questionnent plus dessus). Q) Ok et cette convergence vous dites qu'elle implique la convergence simple. Pourquoi? R) J'ai essayé plusieurs explications qui ne leur convenait pas trop (notamment le fait que l'on peut recouvrir le disque par une suite exhaustive de compacts, et on aura convergence uniforme donc simple sur ces compacts), mais la réponse attendue est qu'en particulier on a convergence uniforme sur $\{ z \}$ pour tout $z$, donc on a la convergence simple. Q) Pourquoi peut-on écrire $f$ comme une série entière ? R) $f$ est holomorphe, donc en particulier analytique, donc DSE au voisinage de tout point (c'était pas trop ce qu'il attendait je crois mais j'ai pas trop compris...) Questions sur le plan et exercices : Q) Que peut-on dire de l'adhérence d'un sev d'un Hilbert? R) Je ne vois pas de suite, donc j'écris que $H=\overline{F}\oplus F^\perp$, puis là je vois que $\overline{F}=(F^\perp)^\perp$ Q) Comment vous montrez que l'orthogonal est fermé? R) Par caractérisation séquentielle (c'était pas ce à quoi il pensait mais ça lui convenait) Q) Dans votre plan, vous mettez qu'en dimension infinie, les normes ne sont pas équivalentes. Par exemple, vous écrivez que sur $\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{K})$, la norme infinie et la norme $N(f) = ||f'||_\infty + ||\varphi f||_\infty$ avec $\varphi \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{K})$. Pouvez-vous le détailler? R) C'était un contre exemple un peu différent de ce que j'avais vu avant que j'ai trouvé je sais plus où. J'ai donc considéré $f_n(t)=t^n$, on a alors $||f_n||_\infty=1$ et $N(f_n) \geq ||f_n'||\infty = n$ donc on ne peut avoir de constante $C$ telle que $N(f) \leq ||f||\infty$ pour tout $f$. Q) Vous dites que tout sev normé de dim finie est complet. On va essayer de voir si c'est le cas de $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$. Pouvez-vous trouver 2 normes sur cet espace ? R) Oui, la norme 1 et la norme infinie. Q) Ok, est-ce que $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ est complet muni de ces normes? R) Pour la norme infinie oui, pour l'autre non. Q) Pourquoi ça va marcher pour la norme infinie ? R) Car $\mathbb{R}$ est complet. Q) Et pour l'autre? R) Je vais essayer de trouver une suite de Cauchy qui converge vers une fonction pas continue... (je pensais qu'il voulait que je l'explicite mais en fait un dessin suffisait et ils m'ont un peu guidée. Il fallait construire une suite de fonctions affine par morceaux, et une fonction limite qui réalise un saut en 1/2 par exemple). Q) Dans votre plan vous écrivez que toute application linéaire est continue en dimension finie, comment vous le montrez ? R) J'utilise la caractérisation des applications linéaires continues avec la constante, et le fait que toutes les normes sont équivalentes à la norme infinie. Q) Vous énoncez le théorème de Riesz-Fisher, il est valable pour quels $p$? R) Dans mon plan j'avais mis $p \in [1;+\infty[$ mais en le voyant je leur dis que c'est bien vrai aussi pour $p=+\infty$. Q) Exercice : Soient $a_o, ..., a_n$ distincts Montrer que $\exists C >0, \forall P \in \mathbb{R}_n[X], |\int_0^1 f(x)\,dx| \leq C \sum_{k=0}^{n}| P(a_k)|$. R) Je dis directement que ça me fait penser à la caractérisation de la continuité des applications linéaires. Je cherche donc la bonne application à poser. Il fallait en fait poser $$\left\{ \begin{array}{rcl}\mathbb{R}_n[X]&\to&(\mathbb{R},|.|)\\ P &\mapsto \int_0^1 f(x)\,dx \end{array} \right. $$ qui est une application linéaire, et poser $N(P) = \sum_{k=0}^{n}| P(a_k)|$, en vérifiant que c'est bien une norme. Q) Exercice : Soit $f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ et $(a_n)_n \in [0,1]^\mathbb{N}$. A quelle condition sur la suite $(a_n)$ $N(f)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f(a_n)}{n!}$ est une norme? R) On a bien l'homogénéité et l'inégalité triangulaire, il faut étudier la séparabilité. Q) Déjà, est-ce que c'est bien défini? R) Oui car $f$ est continue sur $[0,1]$. Q) Et donc ? R) Et $[0,1]$ est compact (j'ai pas réussi à finir l'exercice mais la réponse était que la suite est dense dans [0,1] il me semble).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Vraiment bienveillant, ça m'a beaucoup rassurée. J'ai vraiment eu beaucoup de questions sur le développement, mais ce n'est visiblement pas forcément mauvais signe puisque j'ai eu une bonne note. Je pense juste que le jury n'est pas habitué à ce développement.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan très bateau (plus que celui préparé en révision mais je ne m'en souvenais plus) I/ Espaces vectoriels normés (1. Normes 2. Compacité 3. Complétude) II/ Applications linéaires continues III/ Espaces de Hilbert IV/ Théorème de Baire Je ne me souviens plus des questions

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Je me souviens peu des questions en elle-même, mais j'ai trouvé que le niveau des questions était vraiment pertinent : des questions auxquelles j'ai pu répondre du tac au tac, des questions auxquelles j'ai pu réfléchir et répondre, des questions qui m'ont bloquée. Je me suis dit qu'ils avaient à la fois estimé mon niveau et mes limites. Un peu manque de recul et du stress qui peut faire faire des bêtises et je n'ai pas l'impression au vu des notes que ce soit trop rédhibitoire, ils doivent avoir l'habitude.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Les méta plans préparés en amont sont partis en fumée face à la réalité du jour J mais plutôt que de chercher à faire à la mémoire j'ai juste repris les bouquins que j'avais l'habitude d'utiliser et j'ai construit à partir de là. Je me suis aussi beaucoup appuyée sur les rapports du jury qui balisent bien les attendus et proposent des pistes différentes dans lesquelles on peut piocher selon nos préférences. Pour cette leçon je n'ai pas mis tous les livres dans ce retour par défaut de mémoire mais j'ai travaillé à partir de 10 bouquins différents c'était un enfer ...

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Question : Pourquoi la sphère de K^n associé à la norme infinie est compacte ? (À ce stade on ne sait pas encore que les compacts sont les fermés bornés) Réponse : J'ai proposé de la voir comme une partie fermée de la boule qui est compacte par produit de compacts. Question : Pourquoi un produit de compacts est compacts ? Réponse : J'ai pas vraiment réussi. Ici il faut utiliser la compacité séquentielle (il me semble). Question : Montrer que la norme est continue. Réponse : Avec la définition et on prend delta = epsilon. Question : Est-ce qu'on a montré mieux ? Réponse : Oui elle est 1-lipschitzienne. Question : Démontrer le critère d'existence d'un minimum en dim finie (fonction continue coercive sur un fermé). Question : Démontrer l'existence d'un projeté sur un sev de dim finie. Question : Montrer qu'une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé. Question : Sans utiliser le théorème de Riesz, donner un espace dont la boule unité fermée n'est pas compacte. Réponse : Je ne sais pas, je n'ai pas eu le temps de trouver, c'était la dernière question.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Il y a l'un des trois membres du jury qui parlait plus que les autres. Ils me donnaient des pistes lorsque je bloquais.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surprise.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J:= Jury. L:= Moi. L'ordre et l'énoncé des questions posées est approximatif. Le retour qui suit rend mal compte de la bienveillance du jury, qui est très souriant et encourageant dans ses questions. J: Il me semble que vous n'avez pas totalement démontré la caractérisation du projeté que vous énoncez dans votre plan...\\ L: Oh non pardon ! J'ai oublié la réciproque...\\ J: Ce n'est pas grave, vous pouvez nous expliquer rapidement comment vous auriez fait ? \\ L: En développant les égalités de polarisation, et avec les inégalités sur les distances. \\ J: Quelles inégalités ? \\ L: Si $x_C$ est le projeté de $x$ sur $C$, $\forall z \in C, \vert x-z \vert \geq \vert x-c \vert$\\ J: Vous pouvez montrer que, dans un espace de Hilbert, si $F$ est un sev fermé , $F^{\perp}$ est fermé ?\\ L: Oui. C'est la caractérisation séquentielle de la fermeture, et la continuité de x ---> <x,y> pour tout y J: D'où vient cette continuité ?\\ L: \emph{Je beugue un peu en parlant d’égalités de polarisation au début mais je finis par trouver : } C’est Cauchy Schwarz qui nous assure que c'est une application lipschitzienne. \\ J: Si $F$ est un sev fermé de H, que dire des orthogonaux successifs de $F$?\\ L: euuuh… les orthogonaux successifs ? \emph{ À ce moment là je pense à des histoires de noyaux itérés, je m'imagine qu'on considère implicitement une suite de sevs}\\ J: Le biorthogonal de F, disons. \\ L: Ah, c’est F lui même. C'est encore une conséquence de la projection sur un convexe fermé. \\ J: Ok, on va passer aux questions sur le plan. Vous pouvez relire votre définition numéro X d'une application contractante ? \\ L: Oh non, désolée, j'ai oublié l'hypothèse la plus importante : evidemment $k<1$...\\ J: Et pour votre exemple Y, la complétude des $L^p$, il y aussi une coquille...\\ L: Euh... c'est pas le bon L ? \\ J: Relisez bien. \\ L: Ah ! C'est $p \in [1, + \infty[$, et surtout pas $ ]0, + \infty[$ ! Pardon ! \\ \emph{Je m'en veux encore de ces erreurs. Une simple relecture du plan à la fin des 3h aurait suffit à les éviter.}\\ J: Vous avez un exemple de normes qui ne sont pas équivalentes en dim infinie? \\ L: Oui, sur $C^0([0,1])$, on considère la norme $\ orme{.}_{\infty}$ et la norme $\ orme{.}_1.$ Elles ne définissent pas la même topologie car $(C^0([0,1]), \ orme{.}_{\infty})$ est complet et $(C^0([0,1]), \ orme{.}_{1})$ non. \\ J: Est-ce qu’on a quand même un sens ?\\ L: La norme norme $\ orme{.}_1.$ est lipschitzienne par rapport à la norme $\ orme{.}_{\infty}$. \\ J: Quelle est la constante? \\ L: \emph{J'ai besoin de l'écrire pour le voir, mais dès que je pose mon feutre sur le tableau, ça devient évident} Elle est 1-Lipschitzienne.\\ J: Vous avez un exemple concret de boule unité qui n’est pas compacte en dimension infinie ? \\ L: Euh bah par Riesz n'importe quel espace normé de dimension infini fonctionne donc par exemple… \emph{Je m'apprête à sortir le premier exemple d'evn de dimension infinie que je connais, mais on m'arrête.}\\ J: Un exemple précis? Disons de sphère unité qui ne soit pas compacte ? Sans utiliser Riesz.\\ L: Je vais prendre l'espace des fonctions continues… Non on va faire plus simple, je prends les polynômes, $\mathbb{R}[X]$… Je ne sais pas si j'essaie de contredir Borel-Lebesgue ou Bolzano-Weierstrass... Je vais essayer Borel-Lebesgue, je cherche un recouvrem-\\ J: On va contredir Bolzano-Weierstrass.\\ L:; Ok, donc je prend la norme sup sur les coefficients, $\ orme{\sum a_k X^k}=max(\vert a_k \vert )$. Je cherche une suite de la sphère unité qui n’a pas de valeur d'adhérence dans la sphère unité. \\ J: Quelle est la suite la plus simple que vous puissiez imaginer ? \\ L: La suite des $X^n$. Elle ne peut pas avoir de valeur d’adhérence car si $P$ est un polynôme et de degré $d$ et que $n > d$… \\ J: prenez $P=X^d$\\ L: Si $n \ eq d$ alors $\ orme{X^n - X^d}=1$\\ J: Maintenant, on va passer aux exercices. On se place toujours dans $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme sup $\ orme{.}$ que vous venez de définir. Soit $a \in \mathbb{R}$, soit l’application linéaire $f_a: P \rightarrow P(a)$ est-elle continue ? \\ \emph{ Au début j'étais persuadée que la réponse était \"non\" quel que soit le réel $a$. J’ai commencé à chercher une suite de polynômes telle que $\ orme{P_n}$ tende vers 0 mais telle que $P_n(a)$ reste constant, sans m'en sortir. Le jury a fini par gentiment me pousser vers le caractère lipschitzien de ma fonction évaluation. En cherchant à majorer $P(a)$ j’ai alors vite compris ce que je devais faire pour conclure : une disjonction de cas en fonction de si $|a| < 1$ ou si $|a| \geq 1$, car si $P$ est un polynôme de degré $n$, alors $\vert P(a) \vert \leq (\sum_{0}^{n} \vert a \vert^k)$: on va donc avoir besoin d'étudier la série $\sum \vert a \vert^k$ pour se débarrasser de la dépendance en $n$. Si $\vert a \vert <1$ la série converge et on a notre constante de Lipschitz. Sinon, on trouve un contre exemple. J'ai posé la suite $P_n= \sum_0^n X^{2n}$ de sorte à avoir les $P_n(a)$ positifs. La suite des $\frac{f_a(P_n)}{\ orme{P_n}})$ tend vers l'infini, donc $f_a$ n'est pas lipschitzienne donc pas continue.}\\ J: Et le cas $|a|=1$?\\ L: C’est comme pour $|a|> 1$ \emph{(Dans le deuxième cas de ma disjonction, j’avais écrit au tableau une inégalité stricte là où elle aurait pu être large)}\\ J: D'accord, deuxième exercice. On va montrer une généralisation de votre proposition W \emph{[La proposition en question : si $E$ est un espace de Banach, si $u \in L(E)$ vérifie $\vert \vert \vert u \vert \vert \vert < 1$ alors $(Id-u)^{-1}=\sum u^n$}]. On se place à nouveau dans $E$ un Banach. Montrez que si $u : E \rightarrow E $ est contractante (mais pas forcément linéaire) $Id-u$ est un homéomorphisme.\\ L: \emph{[Terrifiée à l'idée de me mélanger les pinceaux sur la définition d'homéomorphisme]} On veut donc montrer que $Id - u$ est bijective , continue , de réciproque continue. La première chose à laquelle je pense, c'est au théorème d'inversion locale...mais évidemment on ne peut pas utiliser ça ici, on est dans un espace de Banach quelconque, on ne peut pas du tout parler de différentiabilité... euh... je vais commencer par la bijectivité, la continuité on verra ensuite... \\ J: Vous ne pouvez pas faire ça maintenant ? \\ L: Si bien sûr : $Id-u$ est une somme de deux fonctions continues.\\ J: Bien, on continue.\\ \emph{Là,j'ai essayé d’étudier la série $\sum u^k$ sur la sphère unité car je voulais retrouver le même genre d’argument que dans ma proposition W. Mais sans la linéarité, ça ne marche pas du tout. Le jury me pousse à nouveau dans la bonne direction}\\ J: $u$ est contractante que pouvez-vous en déduire ?\\ L: Ah! $u$ admet un unique point fixe $x$. \emph{(Quelques secondes de bidouille d’égalités plus tard)}. Cet unique point fixe c'est l’image réciproque de 0 par $Id-u$. On voudrait faire ça pour tout le monde, pas juste pour 0.\\ \emph{Illumination : ça y est, je sais pourquoi j'ai pensé au théorème d'inversion locale en voyant l'énoncé ! Il faut utiliser le même genre d'astuce que dans la preuve du dit théorème ! Pour tout $y \in E$ je pose une fonction $F_y$ pour transformer le problème d'inversion $u(z) = y$ en un problème de point fixe $F_y(z) = z$. J'arrive très vite à poser la bonne fonction et à montrer qu'elle est contractante.}\\ L: Maintenant, montrons que cet inverse est continu. On va montrer qu'il est lipschitzien. \\ \emph{Là, ça a été beaucoup plus long que nécessaire : j'ai pris trop de temps à bien poser mes variables, et j'ai fait des erreurs de signe une ligne sur deux. Je finis pas montrer que, quand $u$ est $k$-contractante, $Id-u$ est $1-k$-lipschitzienne. Le jury m'empêche de me prendre les pieds dans mes erreurs de calcul, mais je suis déçue d'en avoir fait autant.}\\ J: Très bien, je vous pose un un dernier exercice qu’on aura pas le temps de finir. Montrez que si $f \in L(E)$ \emph{(je ne suis même plus sûre que $f$ était linéaire en fait)}, $f$ est continue si et seulement si $A= {x \in E, ||f(x)||=1} $ est fermé. \\ \emph{Je prouve le sens direct. Aucune difficulté, c'est juste dire que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est continue.}\\ J: On n'a pas le temps pour la réciproque. C'est terminé.\\

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très aidant et bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui, tout à fait. J'avais peur de l'étape \"vérification des livres\" mais aucun soucis

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Voici la proposition de plan faite : I - Généralités. A/ Normes équivalentes. [G] B/ Applications linéaires continues. [G] II - Le cas de la dimension finie : équivalence des normes. A/ Théorème d'équivalence des normes. [G] B/ Les normes matricielles : applications à l'analyse numérique. [ALL] III - Le cas de la dimension infinie : les espaces de Banach et de Hilbert. A/ Les espaces de Banach. [G] B/ Les espaces de Hilbert. [HL] Au départ, quelques questions sur mon développement : Q : Pour montrer le théorème de projection sur un convexe fermé vous utilisez le fait que $H$ est complet, peut-on diminuer un peu les hypothèses ? R : Oui, il suffit de considérer seulement un convexe fermé non vide complet et la preuve marche pareil. Q : Pouvez-vous détailler que c'est une bijection (L'application $z' \mapsto y + \overline{\lambda}z'$ du Hirsch-Lacombe). R : Il suffit d'écrire explicitement l'inverse. Q : Pouvez-vous détailler comment passer de $\forall \lambda \in \mathbb{C}^*,~\forall z'\in F$, $\text{Re}(\lambda\langle x-y, z\rangle) \geq 0$ à $x-y\in F^\perp$ ? R : Il faut prendre $\lambda$ dans $\mathbb{R}_*^{+}$ puis $\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie réelle est nulle puis prendre $\lambda$ dans $i\mathbb{R}_*^{+}$ et $i\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie imaginaire est nulle et trouver le résultat. Ensuite, j'ai eu des questions sur le plan et des exercices : Q : Montrer que si $F$ est un sev de $H$ hilbert alors $F^\perp$ est fermé. R : Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F^\perp$ tendant vers $x$. Montrons que $x\in F^\perp$. Soit $y\in F$, $\langle x,y\rangle = \langle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n,y\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x_n,y\rangle = 0$ par continuité de l'application $x\mapsto \langle x,y\rangle$ (Elle est linéaire et par Cauchy-Schwarz 1-Lipschitz) d'où le résultat. Q : Montrer maintenant que $\overline{F}^\perp = F^\perp$. R : Comme $F \subset \overline{F}$ on a donc $\overline{F}^\perp \subset F^\perp$, montrons l'inclusion inverse. Soit $x\in F^\perp$ et $y\in\overline{F}$ alors il existe $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F$ convergeant vers $y$ et alors $\langle x,y\rangle = \langle x,\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} y_n\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x,y_n\rangle = 0$ par continuité de $y\mapsto \langle x,y\rangle$ d'où le résultat. Q : Dans votre plan vous mettez comme corollaire du théorème de Riesz que $\overline{B_{\mathbb{R}[X]}(0,1)}$ n'est pas compacte, pouvez-vous le montrer à la main ? Et pour quelle norme ? R : Je considère alors la norme infinie pour les polynômes ($||\sum\limits_{i\in I} a_iX^i||_\infty = \max\limits_{i\in I} |a_i|$) et je cherche une suite d'éléments de la boule n'ayant pas de sous-suite convergente. Je prends la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et je suppose qu'il existe une sous-suite convergente, en particulier elle est donc de Cauchy donc en écrivant la définition d'une suite de Cauchy on a une absurdité car : $\forall \epsilon > 0,~\exists n_0\in\mathbb{N},~\forall n,m\geq n_0,~1 = ||X^{\varphi(n)}-X^{\varphi(m)}||_\infty < \epsilon$. Q : Quel isomorphisme nous permet d'écrire le théorème de représentation de Riesz ? R : Le fait que $H$ est isomorphe à son dual $H^*$ via $y \mapsto \langle \cdot,y\rangle$. Q : Et que peut-on dire de ceci pour les Banach en général ? R : C'est faux. Q : Et que considère-t-on dans ce cas ? R : Le bidual. Q : Comment s'appelle les espaces isomorphes à leur bidual ? R : Les espaces réflexifs. Q : Pouvez-vous détailler pourquoi l'exponentielle matricielle est bien définie ? (Je l'avais mis dans le plan) R : J'utilise une propriété des Banachs, une suite absolument convergente converge donc il suffit de montrer qu'elle est absolument convergente, je munis $M_n(\mathbb{R})$ d'une norme subordonnée, c'est une norme d'algèbre et donc : $\frac{|||M^n|||}{n!} \leq \frac{|||M|||^n}{n!}$ et la deuxième converge d'où le résultat. Q : Pouvez-vous détailler pourquoi $P\mapsto P'$ n'est pas continue pour la norme infinie de $\mathbb{R}[X]$ ? R : Encore une fois considérer la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$, la norme de la dérivée tend vers $+\infty$ alors que sa norme vaut toujours 1 c'est absurde si elle était continue. Q : Cherchons alors une norme pour la rendre continue. R : J'ai déjà dit qu'elle était linéaire donc il suffit de trouver une norme pour lequel l'application est de Lispchitz. J'essaie quelques normes sur $\mathbb{R}[X]$ mais cela ne marche pas. Q : Montrons que la constante de Lipschitz est 1 et considérez alors la norme $N(P) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}} |P^{(k)}(0)|$, pouvez-vous détailler pourquoi est-ce une norme ? R : Le seul point délicat est l'équivalence $N(P) = 0 \Longleftrightarrow P = 0$, il faut écrire la somme nulle, c'est une somme (finie car c'est un polynôme) de termes positifs nulle, ils sont tous nuls et par la formule de Taylor pour les polynômes on trouve le résultat. Et alors $N(P') \leq N(P)$ d'où la continuité de l'application. Q : Montrer que les compacts en dimension infinie sont d'intérieur vide. R : Je réfléchis un peu et un jury me demande alors : Q : Déjà en dimension finie qu'est-ce que vous pouvez dire ? R : Je réfléchis jusqu'à considérer une boule fermée qui n'est évidemment pas d'intérieur vide. Je suppose par l'absurde qu'un compact en dimension infinie n'est pas d'intérieur vide, quitte à diminuer la boule on peut supposer qu'il contient une boule fermée. Mais un fermé d'un compact étant compact la boule est compacte mais donc par le théorème de Riesz, l'espace est de dimension finie c'est absurde. L'oral s'est ensuite fini.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très bienveillant et souriant, ils m'aidaient lorsque je ne voyais pas comment faire.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est passé comme je l'avais imaginé, le jury et les appariteurs permettent de faire en sorte de diminuer le plus possible notre stress pendant les épreuves et c'est vraiment très appréciable.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Un deuxième développement hors sujet, bien que ce soit une application de l'isométrie de Plancherel qui est le prolongement d'une application linéaire continue. Des questions autours du développements et de mon Lemme qui portait sur la caractérisation des espaces vectoriels normés complet par les séries, on m'a demandé des détails sur la construction d'une sous suite. J'ai eu des questions basiques sur les espaces L^p . Le jury m'a demandé une esquisse de preuve de l'équivalence des normes et de la continuité des applications linéaires continues en dimension finies et un exercice sur des applications linéaires non continues en dimension infini. On m'a demandé ce que voulait dire l'équivalence des normes d'un point de vue géométrique. Et des questions sur les espaces de Hilbert ainsi qu'un exercice auxquels j'ai su répondre bien que je ne parlais pas des Hilbert dans mon plan.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un jury plutôt bienveillant et qui n'hésite pas à donner des indications lorsque l'on bloque.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'étais très content de mon oral, j'avais à mon sens fais une bonne présentation et un développement maitrisé et des questions auxquels j'ai su répondre même si des indications étaient nécessaire parfois. Malgré cela la note ne suit pas mes impressions.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...) - Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ? - Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement) - Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz. -Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer. - Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.