Transformée de Fourier d'une fraction rationnelle par le théorème des résidus

Pour $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux vérifiant $\deg Q\geq \deg P+1$ et tels que $Q$ n'a pas de zéros réels, on montre via le théorème des résidus le résultat pour $t>0$ $$\int_{\mathbf{R}}\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dx=2\mathrm{i}\pi\sum_{\omega\in \mathcal{Z}_+}\mathrm{Res}\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx},\omega\right)$$ et pour $t< 0$ $$\int_{\mathbf{R}}\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dx=2\mathrm{i}\pi\sum_{\omega\in \mathcal{Z}_-}\mathrm{Res}\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx},\omega\right).$$ Où $\mathcal{Z}_+=Q^{-1}(\{0\})\cap\{\Im z>0\}$ et $\mathcal{Z}_-=Q^{-1}(\{0\})\cap\{\Im z<0\}$.