226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
(Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la méthode QR) - On m'a demandé de préciser un point de mon développement (présenté en 13mn50) sur lequel j'étais allé vite par peur de manquer de temps, je l'ai fait, pas de problème. - Concernant mon développement, on m'a demandé si une certaine fonction était elliptique, j'ai montré que oui. - Quelle est la vitesse de convergence de la méthode du gradient à pas optimal ? Ma réponse : c'est la même que pour le gradient à pas fixe (vitesse linéaire), mais c'est très difficile à montrer théoriquement. - Exercice : étudier la suite $u_0 > 0$, $u_{n+1} = u_n\ e^{-u_n}$, et déterminer la nature de la série $\Sigma\ u_n$ (Réponse : elle diverge). - Exercice : on se donne une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue croissante (au départ, elle n'était pas croissante, mais le jury m'a permis de faire cette hypothèse pour simplifier un peu) vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R}, f(x+1) = f(x) + 1.\] On considère une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Étudier la \"dépendance en $u_0$\" de la suite des \[\frac{u_n-u_0}{n}.\] J'ai essayé pour une fonction $f$ particulière (affine), puis le jury m'a progressivement guidé dans l'exercice.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant. Lorsque j'avais une idée, même si ce n'était pas la bonne piste, on me laissait l'explorer avant de me guider.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Jamais je n'aurais pensé choisir cette leçon face à de l'analyse complexe : le stress de l'oral fait faire des choix surprenants. Le plan que j'avais initialement prévu était beaucoup trop ambitieux : j'ai terminé avec 26 items au lieu de 40. D'ailleurs, je n'ai eu aucune question sur le plan ! Cela m'a surpris.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Presque aucune question sur le développement. Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon? Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X). J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif. Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2? L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide. Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite? Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était \"L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe\". Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence? C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Presque aucune question sur le développement. Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon? Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X). J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif. Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2? L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide. Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite? Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était \"L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe\". Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence? C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Donner un exemple qui rend utile l'énoncé de Picard-Banach sur un espace complet (Réponse : Cauchy-Lipschitz) -Tracer+Calculer l'équation de la droite dans la méthode de la sécante. -Expliquer le lien entre les conditions de stabilité des points fixes, et la stabilité des solutions des EDL (Réponse : Le module des v.p. doit être \leq 1 pour une stabilité, avec en plus une condition sur la dimension des espaces propres) -Faire le calcul de la différentielle de l'application apparaissant dans la méthode de Newton-Raphson (J'ai fini sur cette question) A part cela, je n'ai eu aucune question sur le plan, et je ne crois pas avoir eu d'autres questions sur le développement.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury a été bienveillant et gentil. J'ai passé beaucoup de temps sur le calcul de la différentielle, et il a essayé de m'aider à terminer le calcul malgré le fait que je ne comprenais pas vraiment comment utiliser ses indications.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je pensais avoir plus de questions concernant les suites récurrentes (notamment sur des équivalents, l'utilisation de DL,...), mais hormis la question portant sur le Th de Picard-Banach, je n'ai eu que du petit calcul ou des questions de stabilité de solutions.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Remarque : j'ai présenté la méthode du gradient à pas optimal (non répertorié ici). On m'a posé des questions autour du développement. J'y ai plus ou moins bien répondu. Ensuite on m'a donné un exercice sur les suites récurrentes. Puis un autre qui faisait intervenir des notions de séries et un dernier pour savoir comment passer d'une suite récurrente d'ordre 2 à une suite récurrente d'ordre 1.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très vif, pas trop le temps de répondre. Donner les idées suffisaient généralement. Sinon il était bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.