Propriété de Schur dans l'espace des suites sommables

Soit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\ell^1$. On note $U_n=(u_{n,k})_{k\in\mathbb{N}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Si $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{+\infty}b_ku_{n,k}=0$ pour toute suite $(b_k)_{k\in\mathbb{N}}\in\ell^{\infty}$ alors $\lim_{n\to+\infty}\|U_n\|_{\ell^1}=0$. Autrement dit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge dans $\ell^1$ si, et seulement si $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge faiblement dans $\ell^1$. Cf. Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li p.23