Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

- L'espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt $\mathcal{HS}(E)$ ne dépend pas du choix d'une base hilbertienne ; - $\mathcal{HS}(E)$ est un espace de Hilbert et la norme d'opérateur est contrôlée par la norme de Hilbert-Schmidt ; - Les opérateurs de rang finis sont denses dans $\mathcal{HS}(E)$. Leçons concernées : 205, 208, 213'

Recasages: 213 pleinement, 205 dans une moindre mesure mais tout à fait acceptable, 208 moins acceptable Lacombe Massat (Analyse fonctionnelle) p114+122 Au programme: - $T \in \mathcal{HS}(\mathcal{H}) \Longleftrightarrow T^* \in \mathcal{HS}(\mathcal{H})$ et la valeur de $\sum\limits_{n =0}^{+\infty} \|T e_n\|^2$ ne dépend pas du choix de la base hilbertienne $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$, - $(\mathcal{HS}(\mathcal{H}), \langle \cdot | \cdot \rangle_2)$ est un espace de Hilbert, - L'ensemble des opérateurs de rang fini est dense dans $\mathcal{HS}(\mathcal{H})$. - $\displaystyle{T \in \mathcal{HS}(\mathcal{H}) \Longleftrightarrow \exists K \in L^2(\Omega \times \Omega, \mu \otimes \mu): T = \left [ T_K : f \mapsto \int_\Omega K(x, \cdot) f ~\mathrm{d}\mu \right ]}$ Commentaires à la fin du document, voir mon retour d'oral. Mon site: https://esuong-maths.fr'

Un développement qui utilise toute l'artillerie des espaces de Hilbert, qui utilise un nombre incalculable de fois l'égalité de Bessel et qui fera des merveilles dans les leçons 205, 208 et 213 ! Il y a de la matière dans ce développement, alors démontrez ce que vous maîtrisez le mieux ! Comme dit au début de ce développement, n'oubliez pas de donner des exemples d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et d'opérateurs qui sont continus, mais pas de Hilbert-Schmidt, voire des exemples d'opérateurs compacts qui ne sont pas de Hilbert-Schmidt ! Un exemple est le suivant : si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in c_0(\mathbb{N}) \setminus \ell^2(\mathbb{N})$, alors l'opérateur : \[ T : (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \longmapsto (a_nu_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \] est compact, mais pas de Hilbert-Schmidt !'

référence : Gilles Lacombes Pascal Massat Analyse fonctionnelle'