Lemme de Zabrejko et applications

Soit $(X,||\cdot ||)$ un espace de Banach et $p: X \rightarrow \mathbb R ^+$ une semi-norme vérifiant la condition de $\sigma$-sous-additivité suivante : pour toute série convergente $\sum x_n \in X$, on a \r\r$$p\left( \sum x_n \right) \leq \sum p(x_n) \leq \infty $$\rAlors il existe une constante $M > 0$ telle que pour tout $x\in X, p(x)\leq M||x||$.\r\rLes trois théorèmes classiques d'analyse fonctionnelle (Banach-Steinhaus, application ouverte, graphe fermé) sont tous des corollaires du lemme de Zabrejko.