224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2026

Rapport du jury 2024

Cette leçon est exclusivement consacrée à des exemples : on n'attend aucun exposé systématique sur les notions de développement asymptotique ou d'échelle de comparaison. Une certaine aisance dans la manipulation des relations de comparaison est attendue dans cette leçon. Presque toutes les parties du programme peuvent être mises à contribution : suites définies par une relation de récurrence ou implicitement, estimation asymptotique de sommes partielles ou de restes, fonctions définies par une série ou une intégrale (comportement de la fonction ζ au voisinage de 1 ou du logarithme intégral au voisinage de 8, méthode de Laplace ou de la phase stationnaire notamment), mais aussi solutions d'équations différentielles dont on peut étudier le comportement à l'infini ou la distribution des zéros. Il ne s'agit pas de présenter un grand nombre d'exemples triviaux, mais quelques exemples significatifs bien choisis et diversifiés, pour lesquels on analysera avec soin les idées essentielles des méthodes utilisées. Pour les candidates et candidats solides voulant aller plus loin, des exemples de méthodes d'accélération de convergence peuvent être présentées.

Afficher les anciens rapports

Rapport du jury 2024

Rapport du jury 2019

Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020. Ses thèmes se retrouveront dans les leçons223, 239, 265. $\\$ Ce sujet permet d’exprimer un savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction $\Gamma$. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier, voire présenter la méthode deLaplace. L’étude de suites récurrentes, plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, fait aussi partie du bagage de l’agrégatif, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).

Rapport du jury 2017

Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction $\Gamma$. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier, voire présenter la méthode de Laplace. Par ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que le poncif* $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite). *NDLR : poncif = Formule rabâchée, qui a perdu toute originalité ; cliché.

Rapport du jury 2016

Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction Γ. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier ; voire présenter la méthode de Laplace. Par ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).

Développements

5	Suite récurrente : convergence lente
5	Asymptotique d'une équation du troisième degré
5	Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire
5	Premier théorème de Mertens
5	Moyenne d'une fonction multiplicative à valeurs dans [0,1]
5	Théorème de Wiener-Ikehara
5	Développement asymptotique de la série harmonique
5	Etude de suites définies par récurrence
5	DL usuels au voisinage de 0
5	DA à 3 termes des log itérés
5	Suite des sinus itérés
5	Etude asymptotique de la solution de l'équation de Bessel
5	Formule de Stirling par la méthode de Laplace
5	Convergence d'une suite lente
5	Formule d'Euler-Maclaurin et applications
5	Développement asymptotique de suites definies par récurrence
5	Développement asymptotique du nombre moyens de diviseurs
5	Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)
5	Suite des Arctan itérés
5	Formule d’Euler-Maclaurin
5	Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
5	Développement asymptotique de $\int_1^x \frac{e^t}{t} dt$
5	Un théorème taubérien de Hardy-Littlewood
5	Etude asymptotique d'une suite définie implicitement
5	Développement asymptotique d'une suite récurrente
5	Méthode de Laplace (ordre pas forcément deux)
5	Suites définies par récurrence
5	Étude de deux suites récurrentes
4	Convergence vers la loi de Gumbel
4	Nombre de zéros d'une équation différentielle
4	Ordre moyen de l'indicatrice d'Euler et de $\sigma$
4	Critère de convergence des séries télescopiques
4	Lemme de Scheffé et applications
4	Étude de l'équation x' = x^2 - t
4	Développements de sinus, cotangente et cosécante en produit et sommes infinis du point de vue holomorphe
4	Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson)
4	Formule de Stirling
4	Théorèmes de Mertens
4	Calcul explicite d'une série alternée
4	Théorème de Hardy-Ramanujan
4	Caractérisation par les moments
3	Master Theorem
3	Théorème de Sturm
3	Méthode de Newton
3	Théorème de comparaison de Sturm
3	Approximation polynomiale et matrices de Hilbert
3	Étude qualitative de x' = x^2 - t
3	Méthode de Newton pour les polyômes
3	Méthode de Laplace
3	Recherche de valeurs propres par la méthode de Jacobi
3	Formule de Stirling (par le théorème central limite)
1	Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
1	Problème des moments
1	Partition d'un entier en parts fixées
1	Formule de Gauss pour la fonction Gamma d'Euler

Plans

Rajouter une version

Utilisateur : Xx_MasterPoulet13_xX

Télécharger

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe. Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J. D'après un pote, le FGN x-ens 3 contient tout ce qu'il faut pour la première partie du plan.'

Références :

Analyse\r

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Calcul différentiel

Calcul intégral

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Oraux X ENS 3 (nouvelle édition)

Utilisateur : Beluga

Télécharger

Mes plans sont très inspirés de Mr Syndrome( Mercii à lui !!) Désolée pour les fautes s'il y en a. bon courage :) j'aime pas du tout cette leçon donc je trouve mon plan pas dingue mais si ça peut aider. '

Références :

Utilisateur : Lilian&Thomas

Télécharger

Plan réalisée par Thomas. On est restées dans les notions classiques sur cette leçon. Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

Références :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Mathématiques pour l'agrégation externe. Analyse.

Analyse\r

ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition)

Utilisateur : lemaire

Télécharger

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.'

Références :

Analyse\r

Petit guide de calcul différentiel\r

De l'intégration aux probabilités

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 1

Mathématiques pour l'agrégation externe. Analyse.

Utilisateur : Matteo

Télécharger

Beaucoup de gens n'aiment pas cette leçon. Perso j'aime bien les dev. asymptotique. Si vous êtes comme moi friand de théorie analytique des nombres, vous pouvez vous éclater !! La partie théorie analytique des nombres n'est pas du tout obligatoire et si vous n'en avez pas fait avant l'année d'agrégation ça me semble très difficile de s'y mettre. Une leçon d'exemples c'est toujours difficile parce que vous devez savoir démontrer tout ce qu'il y a dans votre plan. Cependant J'ai fait cette leçon en regroupant les exemples par thèmes et techniques ce qui fait que on retrouve bien la preuve des exemples. Mon dev. 2 n'est pas encadré : je faisais le dev. Asymptotique de l'indicatrice d'Euler donc l'exemple 31. Bonne chance aux algébristes :) Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.'

Références :

Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres\r

Introduction à la théorie des nombres

Calcul Intégral\r

Petit guide de calcul différentiel\r

Oraux X ENS 3 (nouvelle édition)

Elements d'analyse réelle\r

Analyse\r

Utilisateur : Théo L

Télécharger

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).'

Références :

Analyse\r

Elements d'analyse réelle\r

Petit guide de calcul différentiel\r

ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition)

Utilisateur : Axel Bonneau

Télécharger

J'aime pas cette leçon et je pense que c'est le cas de beaucoup de gens. C'est des notions de L1-L2 donc faut vraiment être au point dessus. Je trouve que les exos peuvent vite être durs car c'est souvent des petites astuces. J'ai mis pleins d'exemples que j'ai pris un peu partout. Je suis pas convaincu d'avoir mis les séries numériques avant les suites numériques mais ça peut se défendre. Il y a moyen de mettre des exemples plus exotiques en piochant par exemple dans les Oraux X-ENS. J'utilise le Gourdon, Rombaldi et El Amrani pour la partie cours mais aussi pour les exemples, ainsi que le Garet-Kurtzmann, Rouvière et enfin le Francinou pour le 2e dév.'

Références :

Analyse\r

Elements d'analyse réelle\r

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

De l'intégration aux probabilités

Petit guide de calcul différentiel\r

Oraux X-ENS Analyse 1\r

Utilisateur : Mr_Syndrome

Télécharger

C'est juste un méta-plan que j'ai fais à la va-vite avant les oraux, histoire de sauver les meubles si je tombais dessus. Je n'aimais pas du tout cette leçon, maitriser autant d'exemples représentait un trop gros travail. Je mets quand même ce que j'ai fais, si cela peut donner des idées, mais à utiliser avec prudence. Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux ! Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan. N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.'

Références :

Elements d'analyse réelle\r

Analyse\r

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Utilisateur : DaTiCo

Télécharger

Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider ! '

Références :

Utilisateur : Julos

Télécharger

La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Plan semi détaillé. Leçon qui m'emmerde, trop de calculs troo de trucs chiants, et les exemples il n'y en a pas tant que ca je trouve. D'ailleurs mon 2eme dev est sûrement hors sujet, je donne un équivalent et pas un DL.'

Références :

Utilisateur : Jeanclaudedu77

Télécharger

J'aime pas du tout.'

Références :

Analyse\r

Oraux X-ENS Analyse 1\r

De l'intégration aux probabilités

Utilisateur : kureru

Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente : I. Formules de Taylor et dvt asymptotiques 1) Exemples et D. A. de fonctions usuelles 2) Newton (DVT) 3) Etude locale d'une courbe plane II. Suites et séries numériques 1) Série harmonique 2) Zêta (DVT) 3) Stirling et Wallis (DVT)'

Références :

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

Télécharger

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

Références :

Utilisateur : Tintin

Télécharger

Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, la difficulté provennant du fait que la leçon s'appelle \"Exemples de...\" et que dans les références, on ne trouve pas beaucoup exemples... De plus, la notion de développement asymptotique n'est plus au programme de CPGE et assez peu étudié à la fac donc il faut tout découvrir sur le sujet dans un laps de temps assez court... N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'

Références :

Tout-en-un MPSI

Tout-en-un MP/MP*

Analyse\r

Utilisateur : Théo Ternier

Télécharger

Voici un plan possible pour la leçon 224. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)'

Références :

Analyse\r

Petit guide de calcul différentiel\r

Oraux X-ENS Analyse 1\r

Probabilités pour les non-probabilistes

Utilisateur : Mathis Lemay

Télécharger

Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle \"Exemples de...\" et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples... Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable... Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires... Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça... On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence. Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli'

Références :

Analyse\r

Elements d'analyse réelle\r

Analyse numérique et équation différentielle\r

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !'

Références :

Utilisateur : Hugo

Télécharger

Pas un immense fan de cette leçon, mais elle se remplit bien. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Références :

Utilisateur : ma_tilde

Télécharger

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation ! TL1 = Tout-en-un pour la licence 1'

Références :

Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Petit guide de calcul différentiel\r

Analyse\r

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Utilisateur : Bertin Thomas

Télécharger

Références :

Analyse\r

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Petit guide de calcul différentiel\r

Utilisateur : Demesmay

Télécharger

Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.'

Références :

Utilisateur : EWna

Télécharger

Plan un peu court.'

Références :

Oraux X-ENS Analyse 1\r

Analyse\r

Elements d'analyse réelle\r

Petit guide de calcul différentiel [Doublon]

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Utilisateur : abarrier

Télécharger

Références :

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

Télécharger

J'ai eu beaucoup de mal à faire cette leçon. Je ne pense pas avoir fait un bon plan, je la met quand même en ligne pour les références.'

Références :

Utilisateur : Inèss

Télécharger

Références :

Utilisateur : Agnielli

Télécharger

Ebauche numérique de plan.'

Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

Télécharger

Références :

Retours

Utilisateur : Onch | Année : 2025

Leçon choisie : 1604

Autre leçon : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2026

Développement choisi par le jury : Asymptotique d'une équation du troisième degré

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Il y avait 2 hommes et une femme. Ils ont tous pris autant la parole. Le plan: I°) Utilisations des dev limités II°) Exemples de dev asymp de fonctions 1°) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre 2°) Méthode de Laplace et exemple 3°) Fonctions définies implicitement (DEV 1 uniquement) II°) Exemples de dev asymp de suites 1°) Généralités (cas des séries) 2°) Suites récurrentes (DEV 2) 3°) Suites définie implicitement Il y avait quasiment que des exemples (j'avais environ 25 items qui remplissait presque les 3 pages) issues des FGNs. J'avais pas fait de rappels sur les dev asymptotique comme écrit dans le rapport et de toute façon ça aurait été du remplissage. Question dev: Q: pourquoi on a les inégalités sur les racines ? R: Grace aux DL des fonctions (les deux hommes semblaient convaincu. La femme un peu moins ducoup j'ai un peu détaillé en plus.) Q: Détails des majorations des restes à la fin R : j'écris avec un petit bug sur la majoration l'inégalité de Taylor -Lagrange. Je m'en suis sorti et les jury ont dit ok. Questions sur le plan Q: comment on trouve un des dev asymptotiques ? R: c'était par IPP successives, ont intégrait 1 et dérivait e^{-t²} , le jury acquiesçait. Q: utiliser les propriétés du plan pour montrer l'équivalent du sin itéré, (application de l'autre dev ) R: Je montre comme dans les dev que c'est bien def, cv vers 0 et applique le dev pour conclure (j'ai expliqué un peu où les hypothèses du théorème apparaissait) Q: dev asymptotique en +infini de 1/(2+x) R: j'ai l'idée de transformer l'expression pour faire un dl en 0 , en posant y=1/x. J'ai eu peu de mal à trouver une bonne expression pour conclure. Avec un peu d'aide pour la transformer, on conclut avec dl de y*(1+2y)^{-1} Q: mq tan(x)=x admet une unique sol sur ]πn-π/2,πn+π/2[. + Dl de la solution ( On arrivait sur la fin) R: Je pose f(x)=tan(x)-x, donc il faut montrer que f admet un unique 0 sur l'intervalle, donc tableau variation puis TVI (je cafouillait un peu). Je conclus sur cette partie de la question. Et le jury dit que l'oral est terminé. (heureusement parce que j'avais aucune idée pour la suite)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury m'aidait quand je mongolisais.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surprise, à par le fait qu'il faisait super chaud, donc prenez une bouteille d'eau quoi qu'il arrive.

Note obtenue : 14.0

Références: