Description géométrique des normes

[On traite le cas de la dimension finie, même si le résultat est vrai aussi en dimension infinie] On montre le théorème suivant: Soit $A$ une partie non vide de $R^n$, alors il y a équivalence entre: - $A$ est la boule unité fermée d'une certaine norme sur $R^n$ - $A$ est convexe, équilibrée, compacte et contenant 0 comme point intérieur. Une application est la construction d'une norme $||.||$ sur $R^2$ telle que les seules isométries de $(R^2, ||.||)$ sont $id$ et $-id$. Référence: Zuily-Queffelec, p 244 pour l'édition de 2013. Voir aussi Rouvière (Petit Guide du calcul diff... ) p 20