Théorème de Lax-Milgram et une application

Attention si vous faites l'application du Bernis-Bernis, le Brézis dit qu'en fait en dimension 1 on peut toujours se ramener à l'équation classique de Sturm-Liouville : \[ -(pu')' + qu = f \text{ sur }(0,1), \] qui se résout facilement grâce au Théorème de Riesz ! C'est pourquoi je propose une application en dimension $2$. Mes hypothèses ne sont pas forcément optimales mais ça suffit pour le développement je pense.

Développement consistant de: théorème de Riesz + théorème de Lac Milgram OU théorème de Lac Milgram + application en fonction de la leçon présenté. Développement n°10 sur 28. Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE

Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que : -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$, -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$. Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème : \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}