Échantillonage de Shannon
On pose $BL^2 = \{ u \in L^2(\mathbb{R}) : \widehat{u}_{| \mathbb{R}\setminus I} = 0 \}$ où $I = [ -1/2 , 1/2]$.\r\rAlors \r- $BL^2$ est un espace de Hilbert\r- L'application $BL^2 \to l^2(\mathbb{Z})$ définie par $u \longmapsto (u(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ est une isométrie.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 213 | Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2025 |
| 5 | 250 | Transformation de Fourier. Applications.2025 |
| 4 | 208 | Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2025 |
Utilisateur : Matthieu C.
Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement.
Côté recasages à mon avis:
Espaces de fonctions
Espaces de Hilbert
Transformation de Fourier
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre...
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Références :
Analyse harmonique réelle - Willem
Utilisateur : Matoumatheux
La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit).
Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !
Références :
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Mohammed El Amrani
Utilisateur : Gayral
Références :
Analyse harmonique réelle - Willem
Utilisateur : JBernis
Présentée sous une forme simple en application de la formule sommatoire de Poisson dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Utilisateur : Victor
Références :
Analyse harmonique réelle - Willem