Échantillonage de Shannon

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Un développement qui mobilise tout plein d'arguments d'espace de Hilbert. Il faut être à l'aise avec la transformée de Fourier, notamment sur les spécificités de la transformée L2 et de la transformée L1, car on va jongler entre les deux. Je suis majoritairement la version de El Amrani, mais attention, il y a quelques coquilles dans sa preuve (rien de majeur, mais des constantes multiplicatives ont tendance à disparaître). Dans mon poly, je traite seulement le cas de l'intervalle [-1, 1] (El Amrani se place dans [-A, A]), ça ne change absolument rien mais ça évite de faire des erreurs de calculs (et croyez-moi, elles arrivent à la moindre inattention ici...)'

Je trouve que c'est assez facile.'

Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement. Côté recasages à mon avis: Espaces de fonctions Espaces de Hilbert Transformation de Fourier Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre... Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit). Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !'

J'ai rajouté une remarque sur le sous-échantillonage.'

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Présentée sous une forme simple en application de la formule sommatoire de Poisson dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses'

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