Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Soient $E$ un espace de Banach et $F$ un espace vectoriel. On munit $L_C(E,F)$ de la norme subordonnée $|||f||| = \sup_{ ||x||_E = 1} ||f(x)||_F$. Soit $H \subseteq L_C(E,F)$. Alors ou bien $H$ est bornée (c'est-à-dire qu'il existe $M >0$ telle que $\forall f \in H, |||f||| < M$ ) ou bien il existe $\Omega$ un $G_\delta$ dense de $E$ tel que $\forall x \in \Omega$, $\sup_{ f \in H} || f(x)||_F = +\infty$.\r\rOn utilise ce résultat pour obtenir un exemple de série de Fourier divergente.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 205 | Espaces complets. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 208 | Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2025 |
| 3 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2025 |
| 3 | 246 | Séries de Fourier. Exemples et applications.2025 |
| 2 | 201 | Espaces de fonctions : exemples et applications.2015 |
Utilisateur : Mathis Lemay
/!\ Il ne faut pas prendre en compte le sous-espace \"C_tilde\", j'avais commencé à le rédiger comme cela puis je me suis rendu compte que ça ne servait à rien...
Il y a sûrement des versions de ce développement mieux rédigées...
Références :
Cours d'analyse fonctionnelle - Daniel Li
Analyse réelle et complexe - Rudin
Utilisateur : Pierre Loisel
Résultat très sympa d'analyse fonctionnelle. Attention, il faut être à l'aise sur la propriété de Baire et connaître d'autres applications de Banach-Steinhaus (ça ne manque pas ça).
Attention aux coquilles !
Références :
Utilisateur : abarrier
Références :
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications - Brezis, Haim
Analyse - Gourdon
Utilisateur : Zakhysni
Références :
Analyse - Gourdon
Utilisateur : JBernis
Pour l'application.
Énoncé :
-- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
$$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
-- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
l'ensemble
$$
\left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
\
ight\}
$$
soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Utilisateur : Gabriel
Références :
Analyse réelle et complexe - Rudin
Utilisateur : Tom
Références :
Analyse - Gourdon
Utilisateur : Victor
Références :
Topologie. Espaces fonctionnels - Tisseron
Analyse - Gourdon