Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Soient $E$ un espace de Banach et $F$ un espace vectoriel. On munit $L_C(E,F)$ de la norme subordonnée $|||f||| = \sup_{ ||x||_E = 1} ||f(x)||_F$. Soit $H \subseteq L_C(E,F)$. Alors ou bien $H$ est bornée (c'est-à-dire qu'il existe $M >0$ telle que $\forall f \in H, |||f||| < M$ ) ou bien il existe $\Omega$ un $G_\delta$ dense de $E$ tel que $\forall x \in \Omega$, $\sup_{ f \in H} || f(x)||_F = +\infty$.
On utilise ce résultat pour obtenir un exemple de série de Fourier divergente.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 205 | Espaces complets. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 208 | Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2026 |
| 3 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2026 |
| 3 | 246 | Séries de Fourier. Exemples et applications.2026 |
| 2 | 201 | Espaces de fonctions : exemples et applications.2015 |
Utilisateur : Matteo
Développement technique mais qui est tellement naturel dans la leçon sur les séries de Fourier qu'il vaut vraiment le coup. Pour les repassages je pense 208, 246, 205 et éventuellement 228. Attentions aux coquilles et si vous avez des questions vous pouvez toujours m'envoyer un mail. '
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Analyse réelle et complexe\r - Rudin
Oraux X-ENS Analyse 3 - Francinou, Gianella, Nicolas
Cours d'analyse fonctionnelle - Daniel Li
Utilisateur : Julos
Il faut savoir démontrer le lemme de Baire et la divergence des noyaux de Dirichlet (viens de la divergence de sinus cardinal en valeur absolue). Le recasage en 228 c'est carrément abusé.'
Références :
Utilisateur : Mathis Lemay
/!\ Il ne faut pas prendre en compte le sous-espace \"C_tilde\", j'avais commencé à le rédiger comme cela puis je me suis rendu compte que ça ne servait à rien...
Il y a sûrement des versions de ce développement mieux rédigées...'
Références :
Cours d'analyse fonctionnelle - Daniel Li
Analyse réelle et complexe\r - Rudin
Utilisateur : Pierre Loisel
Résultat très sympa d'analyse fonctionnelle. Attention, il faut être à l'aise sur la propriété de Baire et connaître d'autres applications de Banach-Steinhaus (ça ne manque pas ça).
Attention aux coquilles !'
Références :
Utilisateur : abarrier
'
Références :
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications - Brezis, Haim
Analyse\r - Gourdon
Utilisateur : JBernis
Pour l'application.
Énoncé :
-- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
$$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
-- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
l'ensemble
$$
\left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
\right\}
$$
soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses'
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Utilisateur : Victor
'
Références :
Topologie. Espaces fonctionnels\r - Tisseron
Analyse\r - Gourdon