Théorème de Banach-Alaoglu
Cas d'un espace séparable : Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé séparable, et $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$, bornée pour la norme subordonnée. Alors il existe une extractrice $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ et $T$ élément de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$ telle que pour tout $x\in E$, $$\lim_{k\to +\infty} T_{\varphi(k)}(x)=T(x).$$
Cas d'un espace de Hilbert : Soit $\left(H,\langle \cdot , \cdot\rangle\right)$ un espace de Hilbert, et $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite bornée d'éléments de $H$. Alors il existe une suite extraite de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge faiblement dans $H$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 205 | Espaces complets. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 208 | Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2026 |
| 5 | 213 | Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2026 |
Utilisateur : 20160
En plus d'avoir un nom à mourir de rire, le théorème de Banach-Alaoglu, ce parent pauvre de votre vieux cours d'analyse fonctionnelle, a la particularité d'avoir un indice de recasage infini (genre 7 ou 8 non abusifs). En plus, il n'est pas très compliqué... Mais là attention. En fait, vous devez relativement pouvoir parler ensuite de topologie faible et de topologie faible-étoile, et là, il faut être relativement sûr de soi. Mais bon... Pourquoi pas ? Note : en se concentrant sur les Hilbert et l'optimisation qu'il y a derrière i. e. la limite faible est dans l'enveloppe convexe + minimisation d'une fonctionnelle coercive, on a une chance de tourner la leçon Extrema vers des espaces de Hilbert, mais cette chance n'est pas une garantie et il y a une probabilité $> \frac{5}{8}$ que ce numéro de funambulisme ne porte pas ses fruits, comme en prévient d'ailleurs ardemment le Bernis-Bernis, et qu'on l'on y retombe illico presto le nez dans les conditions KKT et des hessiennes en chaleur.'
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis
Utilisateur : Matteo
Cette version est un peu brouillonne je trouve et ce dev. n'est même pas trop satisfaisant finalement.'
Références :
Utilisateur : Courant Thomas
Démonstration du théorème de Banach-Alaoglu dans le cas hilbertien et applications à la minimisation de fonctionnelle convexe et coercive.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html'
Références :
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses - F. Hirsch, G. Lacombe
Utilisateur : JBernis
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Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis