Théorème de Banach-Alaoglu

Cas d'un espace séparable : Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé séparable, et $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$, bornée pour la norme subordonnée. Alors il existe une extractrice $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ et $T$ élément de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$ telle que pour tout $x\in E$, $$\lim_{k\to +\infty} T_{\varphi(k)}(x)=T(x).$$\r Cas d'un espace de Hilbert : Soit $\left(H,\langle \cdot , \cdot\rangle\right)$ un espace de Hilbert, et $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite bornée d'éléments de $H$. Alors il existe une suite extraite de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge faiblement dans $H$.\r\r