151 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Pas d’auditeur, le jury m’accueille, me rappelle les modalités et de bien m’hydrater. Ensuite, il me dit de commencer dès que je le souhaite. Je présente mon plan, je dépasse un peu malheureusement. Ils choisissent à l’unanimité le premier développement sur les endomorphismes normaux (et heureusement, le deuxième est un recasage que je trouve abusif). Ils me rappellent que j’ai le droit de consulter mes notes avant de commencer, puis j’y vais. Je démontre une série de trois lemmes avant de passer à la réduction. Le développement se passe bien, mais le jury me dit que je dois conclure juste avant la toute fin. Concernant le développement, le jury me pose plusieurs questions : Sur le développement : Q : Pourquoi, quand vous écrivez le polynôme minimal de u comme produit entre un polynôme de degré 2 et un autre polynôme Q (u n’a pas de vp réelle), lorsque l’on évalue en u, on a Q(u) \ eq 0 ? R : Par définition du polynôme minimal, c’est le polynôme de plus petit degré annulant u. Q : Quand vous écrivez le polynôme caractéristique de la matrice A de taille 2, dans le cas où elle est symétrique (on souhaite obtenir une contradiction en ayant une vp réelle), pourquoi passer par cette méthode ? R : Effectivement, comme A est symétrique réelle, le théorème spectral nous dit qu’elle est diagonalisable de vp réelles, d’où la contradiction directement. Q : Qu’est-ce qui se passerait si on était dans un cadre hermitien et non euclidien ? R : J’ai eu un peu de mal à comprendre où le jury voulait en venir, j’ai répondu que dans ce cas, comme C est algébriquement clos, l’endomorphisme normal est trigonalisable. Ils m’ont dit de détailler l’étape intermédiaire entre clôture algébrique de C et trigonalisation de l’endomorphisme, j’ai bégayé sur le moment, et ils sont passés à autre chose. Sur le plan : Q : Pouvez-vous me donner des exemples d’endomorphismes normaux, et le cas échéant comment se passe leur réduction ? R : J’ai d’abord parlé des endomorphismes symétriques, et leur réduction est bien connue, elle est fournie par le théorème spectral. J’ai ensuite parlé des endomorphismes orthogonaux, et leur réduction est analogue à la forme générale : la matrice diagonale n’est composée que de -1 et de 1, puis le blocs diagonaux de taille 2 sont des matrices de rotation. Q : Quelles sont les seules vp d’un endomorphisme orthogonal et pourquoi sont-ce les seules ? R : Au vu de la réduction et de mon instinct, j’ai répondu -1 et 1, ils m’ont donc demandé de le démontrer. Je ne voyais pas trop comment faire, et on m’a dit de revenir aux définitions tout simplement. Après quelques longues secondes de cafouillage, je parviens à donner les définitions, puis en regardant le produit scalaire de u(x) avec lui-même, on obtient bien vp^2 = 1. Q : Pour u et v commutant, pouvez-vous donner des exemples de sous-espaces dépendant de u stables par v ? R : Je pense aux sous-espaces cycliques, on me dit de penser plus simple, je réponds donc sous-espace propres. Je montre alors la stabilité, et le jury me fait remarquer très vite que j’avais conclu au tableau sans que je m’en rende compte. Q : Vous donnez comme exemple que les sous-espaces stables par un endomorphisme nilpotent d’indice de nilpotence égal à la dimension de l’espace ambiant sont exactement les noyaux itérés. Comment le prouvez-vous ? R : Montrer qu’ils sont stables est presque immédiat, le sens réciproque est plus compliqué… J’avais feuilleté la preuve avant d’aller à l’oral donc je me souvenais à peu près du schéma. On pose F un sous-espace vectoriel de E, on considère u_F l’endomorphisme induit sur F, et on doit montrer que la dimension de F coïncide avec l’indice de nilpotence p de u_F. On procède par double inégalité, le jury m’a aidé car j’avançais un peu à tâtons. Autres questions : Q : On considère la matrice diagonale A de taille 3, avec 1,2,3 sur la diagonale. Déterminer tous les sous-espaces stables par A. R : J’étais un peu déboussolé, déjà par la chaleur étouffante de la journée, puis par la question puisque je préfère voir les choses via les endomorphismes. J’ai le réflexe d’énumérer d’abord ceux de dimension 1, qui sont les sous-espaces propres associés aux vp (qui sont les coefficients diagonaux), et ils me demandent si ce sont les seuls. Je réponds que oui, mais je n’ai pas le temps de le démontrer que l’oral se termine. Mon impression globale est un peu mitigée. J’ai eu un couplage que je redoutais vraiment (j’ai fait l’impasse sur la convexité), et l’algèbre linéaire ne me plaît pas trop. Malgré tout, je pense que mon plan n’était pas horrible, mon développement était un peu long mais bien exécuté, j’ai su globalement répondre aux questions.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Deux hommes, dont l’un présidait le jury, et une femme. Ils étaient vraiment bienveillants et m’ont totalement mis en confiance. Ils n’étaient pas extrêmement impartiaux à des moments, ce qui renforçait leur bienveillance. J’espère à tout le monde de tomber sur un jury comme j’ai eu.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pour un oral d’algèbre linéaire, complètement, la profonde gentillesse du jury en bonus.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions: Ils m'ont fait corriger des étourderies dans ce que j'avais écrit concernant mon développement Concernant la fin de mon développement, ils m'ont guidé pour obtenir des démonstrations différentes. Question plan : Questions sur la codiagonalisation de matrice. Je l'ai énoncé pour une famille finie, ils m'ont demandé si infini ça marchait. Je n'avais pas d'argument donc est partie sur la démonstration dans mon cas et l'extension à une famille pas forcément finie d'endomorphisme. J'avais mis trigonalisation avant diagonalisation. Ils m'ont demandé de justifier. Je sais que lorsque j'avais préparé les leçons de réductions j'avais fais ce choix pour une raison mais je ne me rappellais plus pourquoi. J'ai dit que c'était parce que le diagonalisation était un cas particulier de la trigonation. Après ils m'ont demandé si j'avais à l'enseigner si je le ferais comme ça. J'ai répondu que ça pouvait être pertinent également de faire la diagonalisation avant pour s'habituer à certaines manipulations et pour simplifier la venue de la trigonalisation. Ils m'ont demandé de justifier mon dev 2 : de base c'est pas lui que j'avais mis mais au moment de faire le plan j'ai eu un trou sur la structure de mon plan donc j'ai fait comme j'ai pu. J'ai dit que la preuve reposé sur le fait qu'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable, dont la preuve vient du fait que la dimension d'un sous espace propre est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre qui elle même vient du fait que le polynôme caractéristique d'un endomoprhisme induit divise celui de l'endomorphisme (résumé brièvement). Ils m'ont aussi demandé de dénombrer le nombre de sous-espace propre d'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes. Ils ont fait beaucoup de sous-questions pour me guider au résultat.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aidant, souriant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je pensais que les questions posés aller être plus difficile. Il y en avait bien sûre auxquelles je n'ai pas su répondre mais les jurys m'aidaient à obtenir les résultats.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Précision sur l'autre développement : il s'agit d'une version où à chaque étape, la proportion est dans [a,A], segment strictement inclus dans [0,1] et non une proportion 1/2 comme dans le développement proposé sur ce site, il y a des matrices qui commutent et de la codiagonalisation. Beaucoup de questions sur le développement (cf. Perrin p.143 pour plus de détails, ou ce site): Q : Pouvez-vous définir une réflexion orthogonale? R : Je donne la définition à l'aide des matrices en fixant une base Q : Pouvez-vous le définir sans les matrices? R : Je le définis à l'aide de l'axe de renversement et de l'hyperplan. Q : Et pour les renversements? R : Je dis que c'est pareil mais on n'a plus une droite et un hyperplan mais des espaces de dimension 2 et n-2. Q : Pour parler de dimension d'un ensemble, que faut-il vérifier (je parle dans mon développement de l'ensemble des points fixes d'un élément de O(E) et j'utilise sa dimension)? R : Que ça soit un espace vectoriel. Q : Pourquoi est-ce évident qu'il s'agit d'un espace vectoriel? Fu = {x dans E tels que u(x) = x}, u dans O(E) R : Il est non vide et stable par C.L. Q : On peut le réécrire autrement cet ensemble? R : Ah oui... Comme le noyau d'un endomorphisme. Q : Et comment on l'appelle ce noyau? R : C'est l'espace propre de u pour la valeur 1. Q : On se donne une rotation dans $R^3$. Quels renversements l'engendrent? R : Je ne sais pas vraiment. Ma seule idée est de suivre l'algorithme de la preuve et de trouver les réflexions. Je suis donc le développement et trouve les dites réflexions. Q : Est-ce que la génération est minimale? En clair, peut-on engendrer un élément de O(E) en moins de codim(Fu) réflexions? R : Je ne pense pas, on peut peut-être trouver un contre-exemple. Q : Plusieurs membres du jury me posent des questions en même temps et veulent me faire prendre deux points de vue différents : théorique vs contre-exemple. R : Après un moment à être perdu, je finis par suivre la piste d'un des membres du jury qui veut que je démontre théoriquement que c'est minimal. Je me rends compte que ça a un lien avec les hyperplans des réflexions et leur intersection. Q : Et du coup, vous avez un contre-exemple? R : Petit temps de réflexion... Oui, une diagonale avec des -1 puis des 1. Q : Est-ce que la matrice de permutation de (1 2 ... n) est orthogonale? R : Oui, les colonnes forment une b.o.n. Q : Vous savez quelles réflexions l'engendrent? R : pas vraiment de réponses, toutes les questions précédentes étaient un peu mélangées donc on a fini par sauter celle-ci. Q : Que donne le produit de deux réflexions dans R^2? R : (après aide du jury et après avoir oublié ce qu'on me demandait à la base tellement j'ai eu de questions intermédiaires) une rotation. Sur le plan: Q : Démontrer que le polynome caractéristique de $u_{|F}$ (F stable par u) divise celui de u. R : Je dis que ça revient à ce dont je parlais dans ma présentation de plan et que matriciellement c'est évident. Q : Montrer que g et f commutent et sont diagonalisables implique qu'ils sont co-diagonalisables. R : Un peu laborieux mais j'y arrive. Q : Que peut-on dire du commutant de f diagonalisable? R : Je parle de stabilité des espaces propres mais je ne sais pas si c'est une CNS. Le membre du jury ayant posé la question m'aide et on trouve à l'oral que c'en est bien une. Q : Quelle est la dimension de ce commutant? R : La somme des carrés des dimensions des espaces propres. Le jury me dit que nous n'avons plus beaucoup de temps et nous passons à un exercice. Q : Soit u dans L(E) de polynôme caractéristique scindé à racines simples. Dénombrer les espaces stables de u. Il vous reste 30s (merci, c'est trop) R : J'ai juste le temps de dire qu'il y a au moins toutes les sommes directes d'espaces propres. Je n'ai pas eu le temps de les compter ( $2^n$ si je ne m'abuse). C'est fini, merci et bonne journée.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient assez neutre dans leur ton, ni sévères ni gentils. Ils avaient envie de poser beauuuuuuuucoup de questions, des petites questions parfois mais en plein milieu d'autres. Ce qui fait que j'ai au moins perdu le fil de ce que l'on faisait 2 fois lors de l'oral. J'imagine que ça leur permet aussi de tester les reflexes des candidats.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui, l'oral s'est passé comme je m'y attendais. J'étais un peu déçu qu'ils ne choisissent pas le développement sur lequel j'avais apporté des ajouts personnels. Ils n'ont pas hésité sur le développement qu'ils voulaient voir. J'avais l'impression qu'ils avaient déjà beaucoup de questions prêtes sur O(E) et qu'ils ont juste vu qu'ils pourraient facilement poser des questions pendant la troisième partie de l'oral.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de questions autour du développement notamment, des questions basiques mais qui ont su tous de même me déstabiliser. Ils ont finit par un exercice classique en me demandant les sous espaces stables d'un endomorphisme nilpotent dont l'indice de nilpotence était la dimension de l'espace.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un jury très bienveillant et aidant lorsque l'ont bloque. C'était très appréciable surtout lorsque l'on cède à la panique face à des questions simple ça aide à se remobiliser.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est déroulé comme prévu en terme d'organisation, pour ce qui est des questions un peu étonné que le jury ne s'intéresse pas vraiment aux plans sur ce coup ci.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Il n’y a eu que très peu de questions sur les représentations (que des bases, définitions, premières propriétés, exemples). La majeure partie des questions était sur la décomposition de dunford : démonstration de l’existence, détermination de la décomposition pour une matrice 2x2 triangulaire supérieure avec un paramètre alpha, complexité de l’algorithme.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice \[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right).\] Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ? Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.