190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques questions \"d'ouverture\" sur le développement (calcul dans un cas particulier, que se passe-t-il si on fait agir $GL_n(\mathbb{F}_q)$ sur l'ensemble des couples (F,G) de sev de $\mathbb{F}_q^n$ avec dim F fixée, dim G fixée et F et G pas forcément en somme directe ? Autre question sur le développement : on voit que le terme dominant dans la somme correspond au q-uplet (1,1,...,1) : comparer avec ce qu'il se passe dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (densité des matrices à $n$ valeurs propres distinctes). Montrer que $A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ est diagonalisable ssi $A^q = A$. Pas de question sur le plan. Exos : - Compter les k-cycles dans $\mathfrak{S}_n$. - Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Compter les couples $(F,G)$ de parties de $E$ telles que $F \cap G$ est vide. - \"Exercice qui n'a rien à voir\" : Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Compter les couples $(F,G)$ de parties de $E$ telles que $F \cup G = E$. (on se ramène au précédent en passant au complémentaire) - Montrer par un dénombrement une formule dont je ne me souviens plus exactement. C'était une somme de coefficients binomiaux. - Calculer $$\sum_{(i_1,...,i_r) \in \mathbb{N}^r, i_1 + ... + i_r = n} i_1...i_r$$ ($r$ et $n$ sont fixés) - Rappeler la définition de $p$-Sylow et trouver le nombre de $p$-Sylow dans $GL_n(\mathbb{F}_p)$.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury neutre.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas vraiment de surprise, un peu déçu qu'on n'ait pas parlé du lemme de Sperner pour montrer le théorème du point fixe de Brouwer (c'était dans mon plan). J'avais également fait exprès de ne pas mettre le dénombrement des matrices trigonalisables dans $M_n(\mathbb{F}_q)$ (j'avais les diagonalisables et nilpotentes à la fin du plan).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
— Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose. — Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose. — Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p. Après ça, c'était terminé.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
RAS

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions posées : présentation de la formule de Mobius par la convolution trouver un critère d'irréductibilité sur Fq

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était plutôt agréable, les questions étaient suivies d'indications si on ne trouvait pas de pistes, et ils corrigeaient ou demandaient de préciser quand il y avait une erreur/ambiguïté

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
exos sans lien direct justifier des formules de bases

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.