Dunford et l'exponentielle de matrice

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

Le dev est au recto, lemmes et exemples au verso Réf : Rombaldi p.613 et p.765 - 766 Recasage : 150, 152, 155, 156 Remarque : Développement classique, et résultats à connaitre. Sachez donner la décomposition de Dunford d'une matrice, puis donner son exponentielle. Je vous conseille de glisser des hameçons dans le dev, ie aller vite sur des détails pour que le jury vous interroge dessus (co-diagonalisation, diag + nilp => nul, exp(u) est un polynôme en u etc)'

Développement rédigé au cours de l'année. Garder un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. Il y a plus dans ce développement par rapport au temps dont on dispose : il faut choisir la meilleure partie en fonction de la leçon. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

Je suis passé à l'oral dessus sur la leçon \"Endomorphismes diagonalisables en dimension finie\". J'ai fait comme j'ai rédigé sur le pdf, j'ai juste sauté la partie où je justifie la décomposition de Dunford de l'exponentielle, donc ils sont revenus dessus ensuite, et m'ont aussi demandé de justifier que exp(D+N)=exp(D)exp(N) lorsqu'il y a commutativité. Ils m'ont aussi demandé pourquoi les projecteurs étaient des polynômes en u, c'est preuve du lemme des noyaux avec la relation de Bézout et le passage dans K[u]. Donc il faut être au point sur les résultats préliminaires ! Recasages 2025 : 150,151,152,155,156.'

Recasages: 148, 153, 155, 157 Gourdon (v3) p204 + Rombaldi p634 Voir mon retour d'oral. (Inutile de formuler ce lemme, je réécrirai le développement dès que possible) Mon site: https://esuong-maths.fr'

Gourdon page 192 + Rombaldi Couplé avec les leçons 150, 151, 152, 155, 156'

Pour les leçons : 150, 151, 152, 155, 156.'

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

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Version manuscrite, désolée pour l'écriture . Je suis passée sur ce développement à l'oral, j'ai du abréger la fin car il ne me restait plus de temps. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin. '

Je le mets dans 150, 151, 154, 155, 156. Je pense qu'il est important d'être super nickel quand on fait ce dev comme si on faisait un cours. Je le fais avec des projecteurs.'

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Leçons 153, 154, 155, 156, 157'

D'après moi pour les leçons : 153, 154, 155, 157 Attention, dans tous mes plans mon énoncé du lemme de décomposition des noyaux inclut le fait que les projecteurs sont des polynômes en l'endomorphisme, ce qui rend la commutativité triviale, mais laisse le temps de faire proprement l'application. Je n'ai pas de référence pour l'application. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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Je conseille d'avoir précisé dans le plan tout ce qui est question de codiagonalisation (ce qui rends la démonstration plus souple). Je déconseille aussi de mettre ce dev dans la leçon sur les exponentielles de matrices, sans une bonne raison (car en tant que tel, le gros de la preuve est Dunford ...). J'ajoute à la fin une petite remarque sur la décomposition de Dunford de l'exponentielle de matrice, si par hasard vous souhaitez vraiment mettre ce dev dans cette leçon.'

p 601 à 604 pour la décomposition (faire plus court) + p 623 - 624 pour l'application à l'exponentielle '

La preuve de Dunford courte est dans le Gourdon Pour l'application, je crois qu'elle se trouve dans le NH2G2 ou dans le Gourdon (à vérifier).'