Endomorphismes semi-simples

Développement assez sympa et qui se recase pas trop mal. Ce que je fais dans la preuve du sens direct est assez alambiqué et même moi je suis perdu donc vaut mieux suivre le Gourdon (sans blague).'

Ce développement est extrêmement long. Je pense qu'il faut choisir ce qu'on veut montrer en fonction de la leçon dans laquelle on le présente. Attention aux coquilles.'

- Les projecteurs spectraux sont des polynômes en l'endomorphisme ; - Décomposition d'un sous-espace stable ; - Preuve de l'implication $\mu_f$ irréductible $\Rightarrow$ $f$ semi-simple en introduisant une autre structure linéaire ; - Caractérisation de la semi-simplicité par le polynôme minimal. Leçons concernées : 122, 150, 151'

'

Très joli développement, je recommande ! Je ne prends le Gourdon que pour l'implication directe et le cas général de l'implication réciproque. Par contre, pour le cas du polynôme minimal irréductible, je ne prends pas le Gourdon, parce que franchement sa méthode est horrible à écrire et sûrement à écouter... Je prends une méthode qui m'a été présentée par un de mes profs, mais du coup pas de référence, mais tant pis : cette méthode écourte grandement le développement, et fait qu'il peut être traité sans problème en 15 minutes. Apparemment, on peut montrer que A une matrice réelle est semi simple ssi sa classe de similitude est fermée dans Mn(R). Ce résultat fait écho à un résultat de topologie des classes de similitude, mais bien que fort intéressant je n'ai jamais trouvé la preuve de ce résultat, ni par moi-même ni dans des bouquins. Mais ça paraît être une jolie application, ça vaut le coup de chercher je pense :) Côté recasages à mon avis: - Polynômes d'endomorphismes - Sous espaces stables pas un/une famille d'endomorphismes - Pas déconnant dans anneaux principaux, étant donnée la place centrale de l'identité de Bézout. Je l'avais mis au départ dans Polynômes irréductibles à un indéterminée, vu que le cas où le polynôme minimal est irréductible constitue un pivot dans la preuve. Ceci dit, je l'ai enlevé parce qu'en lisant le rapport du jury pour cette leçon, j'ai vu qu'ils attendent une leçon très teintée sur les corps, et du coup ce développement paraît un peu à côté de la plaque... Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Ce développement ne fait pas partie des plus simples, mais le travaillant on y arrive. Les remarques en noir sont celles que j'ai ajoutées lorsque je le travaillais. A la fin, la remarque a été coupée par le scanner, mais tout est dans le Gourdon. Ce développement a l'avantage d'être parfait pour la 151 Sous-espaces stables, leçon pour laquelle les développements peuvent être un peu bancals...'

'

J'ai du apprendre par coeur cette version du dev car je n'ai pas trouvé de livre qui faisait mot pour mot cette version du développement. On retrouve quand même des fragments par ci par la dans le Rombaldi et dans le Gourdon. Il faut connaitre des exemples d'endomorphismes semi simples !'

'

Recasages : 153,154,141,122,151,125 Faut surtout bien structurer ce dev de sorte à ce que ce soit bien clair dans sa tête. Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/c51fcaff-39ee-46d0-96c1-a7c96b867905/Endomorphismes_semi-simples.pdf?id=f92f2bef-1c20-4dc2-85a9-9bf5b05b195b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=k33wJAepwqpQilfYtn4rxg4ZeSZ6jmylskAxPSDDXgc&downloadName=Endomorphismes+semi-simples.pdf Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4'

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes. Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme). (p224)'

'

Une généralisation de la diagonalisation ??'

Mis à jour 3.05.17'

'

'

fgn je crois'