Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
Lemme: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.
Alors: il existe des sous-espaces vectoriels de $E$: $P_1;...;P_r$ de dimensions 1 ou 2, deux à deux orthogonaux, stables par $u$ tels que: $E = \bigoplus ^r_{j=1} P_j$.
Théorème: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.
Alors: il existe une base orthonormée $\mathcal{B}$ de $E$ telle que:
\[
\mathcal{Mat}_{\mathcal{B}}(u) =
\begin{bmatrix}
D_p & & &\\
& R_1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & R_r
\end{bmatrix}
\]
avec $D_p$ matrice diagonale, et pour tout $k\in[[1;r]],$
\[
R_k =
\begin{bmatrix}
a_k & -b_k\\
b_k & a_k
\end{bmatrix}
\]
tel que $b_k \
eq 0$ et $p+2r = n$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 158 | Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2026 |
| 5 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2026 |
| 5 | 150 | Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.2026 |
| 5 | 151 | Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.2026 |
| 5 | 148 | Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.2026 |
| 4 | 157 | Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2026 |
| 3 | 161 | Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2026 |
| 3 | 152 | Endomorphismes diagonalisables en dimension finie2026 |
Utilisateur : VahéMosso
https://mathsplaisir.wordpress.com/
Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier.
Bonne préparation ;)'
Références :
Utilisateur : Matteo
Alors il y a la preuve classique du Rombaldi et après j'ai rajouté quelque chose pour lequel je n'ai pas de référence mais je trouve ça très beau.
Attention aux coquilles.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : EWna
Recasages: 151, 154, 160
Je mets aussi 151 pour l'illustration de la récurrence sur la dimension (il faut être prêt·e à défendre ce choix).
Pages 743 à 745
NB: deux coquilles dans le Rombaldi: une dans l'énoncé (c'est $b_k$ qui est non nul, pas $a_k$), et une dans la preuve du Lemme 22.13 ($\delta = (a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ et non $(a+d)^2 + 4b^2$ #copiercoller)
Mon site: https://esuong-maths.fr'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Brunel
Je prends ce développement pour les leçons 106, 148, 150, 151 et 158. Ça fait beaucoup de recasages (trop, dirons certains), à vous d'y réfléchir.
On trouvera le développement aux alentours de la page 743.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Alice M
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : tchen
Pour les leçons 106, 148, 150, 151, 152, 157, 158 car il est facile de démontrer le théorème de classification des isométries + le théorème spectral avec. Pour la 152, outre le théorème spectral, on fait un peu de polynômes d'endomorphismes.
J'ai utilisé le Rombaldi mais en cas de doute, on peut aussi lire le Gourdon. Par contre, j'ai bricolé une version un peu plus directe.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Algèbre\r - Gourdon
Utilisateur : Demesmay
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Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Jouaucon
Développement classique permettant de classifier les endomorphismes symétriques, antisymétriques et orthogonaux dans un espace euclidien. Ici, on montre un lemme puis le théorème tous les deux par récurrence sur la dimension de l'espace euclidien.
Développement n°24 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi