Calcul algébrique de la somme quadratique de Gauss

On calcule, pour $n$ impair $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$) On trouve : $$\tau_n = \left \{\begin{array}{cc} \sqrt n & \text{ si } n \equiv 1 \pmod 4 \\ i \sqrt n & \text{ si } n \equiv 3 \pmod 4 \end{array} \right.$$ On effectue ce calcul en exprimant la somme comme la trace de l'opérateur de transformée de Fourier sur $\mathbf Z/n\mathbf Z$ ; on calcule cette trace en diagonalisant l'opérateur.