171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions du jury: Sur le développement: On m'a demandé de préciser la topologie que je mettais sur les matrices dans mon développement. J'ai dis que c'était celle associée à la norme $2$ $\lVert A \rVert_2=\sqrt{Tr(A^{T}A)}$. On m'a demandé si ça avait une importance, j'ai dis que non par équivalence des normes en dimension finie. On m'a demandé pourquoi $O_n$ est compact (j'avais dis que $O(p,q)$ était compact ssi $p=0$ ou $q=0$ à la fin de mon dév en disant qu'on savait que $O(n)$ est compact). J'ai donc dis qu'il était bornée par $\sqrt{n}$ pour la norme que j'avais introduite, et qu'il était fermée comme image réciproque de $I_n$ par $M \mapsto M^T M$, ce qui conclut car on est en dimension finie. Montrer que l'exponentielle est un homéomorphisme de $S_n(\mathbb{R})$ sur $S_n^{++}(\mathbb{R})$. Il ne m'ont laissé le temps de faire que la surjectivité et de justifier que $exp(P^{-1}AP)=P^{-1}exp(A)P$ avant de changer de question. Ils voulaient que je donne explicitement l'application continue dont j'avais besoin (c'est-à-dire $\psi : B \mapsto P^{-1} B P$), et que je précise pourquoi elle est continue (linéaire en dimension finie). Ils m'ont demandé de démontrer l'existence et l'unicité de la décomposition polaire. J'ai expliqué que pour l'existence, on applique le théorème spectral à $P^t P$ pour prendre les racines carrés de ses valeurs propres (un peu comme dans la surjectivité de l’exponentielle où on avait prit le log). Pour l'unicité, j'explique pourquoi on a $S^2=S'^{2}$, et qu'il suffit de voir que $S$ et $S'$ commutent pour conclure, ce qui est vrai car $S'$ est un polynôme en $S$. Le gars me dit \"c'est ça\", et on change de question. Exos à part + sur le plan : On m'a demandé la signature de $q(a,b,c)=(a-b)^2+(a-c)^2-(b-c)^2$. J'ai commencé par dire qu'on ne pouvait pas dire \"on a une somme de carré donc la signature est $(2,1)$\", car les formes linéaires ne sont pas indépendante. (car $(a-b)-(a-c)+(b-c)=0$). Du coup, on développe, et avec l'algo de Gauss, on obtient: $q=2a^2 -2ab-2ac+2bc$. Ensuite, on forme un carré en appliquant l'algo de Gauss: $q=(\sqrt{2}a-\frac{1}{\sqrt{2}}b-\frac{1}{\sqrt{2}}c)^2-(\frac{1}{\sqrt{2}}b-\frac{1}{\sqrt{2}}c)^2$ donc la signature est $(1,1)$. En particulier, la forme quadratique est dégénérée. On m'a demandé dans le thm d'inertie de Sylvester de caractériser les entiers $r,s$ de la signature à l'aide de dimension maximale où la forme quadratique est définie positive. $r$ est la dimension maximale tq il existe un sev $F$ de $E$ de dimension $r$ tq $q$ est définie positive, $s$ est la dimension maximale tq il existe un sev $G$ de $E$ de dimension $s$ tq $q$ est définie négative. Dans ma partie sur le calcul différentiel, j'avais mis un contre-exemple au lemme de Schwartz venant du Hauchecorne (pour échanger les dérivées partielles), quand la fonction n'est pas deux fois différentiables, et qu'on suppose seulement que les dérivées partielles d'ordre 2 existent. Il m'a dit qu'il n'était pas clair que l'application était continue en $0$, je lui ai dis qu'on utilisait $|ab|\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ et il était content. Il m'a demandé de justifier la log concavité du déterminant que j'avais mis en application du théorème de réduction simultanée. Il m'a demandé comment on démontrait la classification euclidienne des coniques. Je lui ai dis qu'on utilisait le thm de réduction simultanée pour que le repère soit orthonormé (on n'en aurait pas eu besoin pour la classification affine typiquement), et le temps que je retrouve qu'on appliquer ce thm sur la forme quadratique homogénéisé $Q$ et non sur $q$, il me dit que l'oral est fini donc je suis un peu frustré à la fin.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était plutôt sympathique, et celui qui dirigeait l'échange (au milieu) enchaînait les questions tout en restant agréable. J'ai beaucoup apprécié ce membre du jury, puisqu'il me posait beaucoup de questions sur les démonstrations du plan en allant vite pour balayer le plus de choses possible, ce qui me convenait à merveille.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui, j'ai juste eu une frayeur car il me restait seulement 35 minutes à la fin de la préparation pour revoir mes deux développements, mais ça l'a fait car je les connaissais bien.