Réduction des endomorphismes normaux

Plus précisément : description des blocs dans le cas euclidien ou diagonalisation sur un corps algébriquement clos. Un développement modulable qui est parmi ceux que j'ai choisis un des seuls qui montre un point de cours. Il n'est pas très difficile, ce qui un peu problématique si on veut le coupler avec la décomposition JDC mais c'est qu'il comble pas mal de trous le petit coquin (dans Stabilité, on peut le remplacer par JDC pour aller avec Lie-Kolchin si on veut). Moi je l'apprécie parce qu'il permet d'être pédagogue en unifiant plein de réductions connues depuis la petite enfance ce qui est assez satisfaisant. Avec Frobenius, vous avez entre les mains deux aboutissements de l'algèbre linéaire qui donneraient presque envie de la ranger dans un tiroir pour n'en parler plus. Je prends la version du Gourdon qui est un peu plus longue mais je trouve plus pédagogique, la preuve plus rapide avec le fameux lemme utilisant la trace comme produit scalaire étant certes efficace, un peu moins bien explicable à mon goût. Et puis le but c'est que ça fasse quinze minutes.'

Le dev est au recto, corollaires au verso. Réf : Rombaldi p.743 - 745 et Gourdon p.271 - 272 Recasage : 148, 150, 151, 158 Remarque : Développement classique. Le lemme justifie très bien le recasage dans la 151. J'ai mélangé les démo du Rombaldi et du Gourdon pour utiliser un peu plus les polynômes d'endomorphisme. Je vous conseille de prendre votre temps, le dev est court'

On démontre d'abord que la réduction sur $\mathbb{C}$ pour déduire celle sur $\mathbb{R}$'

- Un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel admet toujours une droite ou un plan stable ; - Si $u$ est normal et $F$ est $u$-stable, alors $F^\perp$ est $u$-stable ; - Réduction des endomorphismes normaux d'un plan euclidien ; - Théorème général en dimension quelconque. Leçons concernées : 150, 151, 152, 158'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. Je suis tombée dessus à l'oral et j'ai eu 18/20. Comme quoi un développement aussi simple suffit largement.'

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Ma version utilise le théorème spectral via la décomposition polaire pour montrer que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables. Je préfère faire ainsi, on passe du cas particulier (théorème spectral) au cas général : la réduction des normaux. J'ai rajouté un complément sur les opérateurs auto-adjoints compacts en dimension infinie.'

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Le lemme peut se trouver dans le Berhuy Grand combat p.160 il me semble'

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/'

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Mis à jour le 23.04.17'

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